C’è un lago rotondo in Sud America. Ogni anno, il 1° giugno un fiore Victoria regia compare proprio in mezzo al lago (il suo stelo viene su dal fondo e i suoi petali si appoggiano sull’acqua come quelli di una ninfea).
Ogni giorno l’area occupata dalla Victoria regia raddoppia e finalmente il 30 giugno copre l’intero lago, i petali si staccano e i semi affondano nel lago.
In quale giorno del mese di giugno l’area occupata dalla Victoria regia corrisponde alla metà della superficie del lago?
Soluzione
L’area occupata dalla Victoria regia corrisponde alla metà della superficie del lago un giorno prima di quando copre l’intero lago, ossia il 29 giugno.
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La risposta che si ottiene quando si pone questo quesito come una “domanda a bruciapelo”, rivolta a qualcuno che non sia stato fino a poco prima impegnato nello studio delle potenze, è pressoché una sola ed è sbagliata: “L’area occupata dalla Victoria regia corrisponde alla metà della superficie del lago il 15 di giugno”. E anche quando si chiede di motivare questa risposta, si ottiene quasi sempre la stessa giustificazione: “Perchè la metà di 30 è 15”.
Da cosa deriva la sicurezza con cui, sbagliando, si applica il “modello lineare” a questa situazione? Difficile dirlo: forse dal fatto che quello lineare è il più semplice modello che abbiamo a disposizione, ed è talmente forte il desiderio che tutto possa essere descritto con questo modello che… finiamo col crederci. O forse perché la rapidità con cui crescono le potenze è davvero al di là della capacità di immaginazione di una mente non “educata” a farlo.
Un problema significativo
Il motivo per cui può essere significativo proporre questo problema (o altri analoghi) è proprio che ci può aiutare a educare l’immaginazione dei nostri alunni, a far prendere loro confidenza con grandezze che all’inizio sono piccole, facilmente maneggiabili, e che nel giro di poco si trasformano in quantità molto grandi.
Pubblichiamo questo articolo nel maggio 2021, cioè in un periodo in cui molto si sente parlare di crescita esponenziale, in relazione alla diffusione del virus SARS-CoV-2. Spesso, però, la dicitura “crescita esponenziale” viene usata in maniera approssimativa, quasi che sia un sinonimo di “crescita molto veloce”, senza rendersi conto che questa espressione ha un significato preciso, soprattutto senza rendersi conto che la crescita esponenziale non solo diventa veloce, ma continua ad accelerare, con una accelerazione sempre più grande, e porta quindi repentinamente a numeri spaventosamente alti.
Se la crescita della Victoria Regia fosse dettata da una legge lineare, per esempio se l’area occupata sul lago aumentasse ogni giorno di 2 m2, la situazione sarebbe ampiamente sotto controllo. Se aumentasse ogni giorno di 200 m2, la crescita sarebbe molto più veloce, però ancora controllabile: se ogni m2 di superficie occupata richiedesse una certa opera di manutenzione, allora dovremmo mettere in conto ogni giorno un aumento, ma sempre della stessa quantità. Invece la “nostra” Victoria Regia, che ogni giorno raddoppia l’area occupata, è assolutamente fuori controllo: all’inizio sembra aumentare piano piano, addirittura possiamo calcolare che il 25 giugno sarà ricoperto solo poco più del 3% della superficie del lago (il 3,125%, per l’esattezza). La Victoria regia ci ha messo 25 giorni per ricoprire poco più del 3 % e poi… e poi esplode e il 30 giugno ricopre l’intero lago!
Questa maniera di crescere è davvero stupefacente e assolutamente contro intuitiva, quindi è bene educare i ragazzi a familiarizzare con questo modello, che compare, purtroppo, anche nel caso delle pandemie. Sta naturalmente a ciascun insegnante decidere, secondo la propria sensibilità e secondo le peculiarità della propria classe, se esplicitare o meno questo legame; e naturalmente sta a ciascun insegnante decidere come farlo in una maniera che non crei ansia aggiuntiva, ma, viceversa, possa essere utile per dare ai ragazzi qualche strumento in più per leggere e interpretare con razionalità la realtà che li circonda.
Resta il fatto che acquisire confidenza sul confronto fra un modello di crescita lineare e un modello di crescita esponenziale è qualcosa che può essere utile ai ragazzi non solo nello studio della matematica, ma anche per orientarsi nella vita di tutti i giorni, e certo non soltanto in tempi di pandemia!
Un percorso a ritroso
Parte della bellezza di questo problema sta nel fatto che, in un certo senso, impone di “mettere la marcia indietro”. Sarebbe molto più facile (per quanto richieda le stesse conoscenze) rispondere a questa domanda: sapendo che ogni giorno l’area occupata dalla Victoria regia raddoppia e che il 29 giugno occupa metà della superficie del lago, in che giorno l’intero lago sarà coperto?
Questo andare avanti e indietro, passando dal raddoppiare al dimezzare e viceversa, è anche la chiave di volta che permette a tutti di spiegare e capire perché non è vero che il lago sarebbe coperto per metà al 15 di giugno. Queste, ad esempio, sono le parole di una ragazzina di prima media:
Il 29 giugno il lago è a metà e quindi il 30 si raddoppia riempiendolo. Avevo pensato il 15, ma non era possibile, perché si sarebbe riempito il 16 e non il 30. Quindi la risposta esatta è il 29.
Una volta che ci si è accorti che “tornare indietro” può essere conveniente, facendo qualche altro passo a ritroso si possono fare delle scoperte interessanti. Per esempio: se la Victoria regia ricopre l’intero lago e il 29 giugno ne ricopre la metà, vorrà dire anche che il 28 giugno ne avrà ricoperto 1/4, cioè il 25%, il 27 giugno la metà di 1/4, cioè il 12,5 %, il 26 giugno il 6,25%, e il 25 giugno il 3,125%.
Questi passaggi ci rivelano quanto è poco intuitiva la funzione esponenziale: fa impressione anche a chi ha trovato la soluzione del problema rendersi conto che, solo 5 giorni prima che il lago si fosse riempito, la Victoria regia non ne aveva ancora coperto nemmeno il 5%!
Potrebbe essere interessante provare a proporre ai ragazzi, a distanza di qualche mese, un problema del tutto analogo in cui si chiede però di decidere in quale data si raggiunge il 25% della copertura totale.
Strategie risolutive diverse
Calcoli, calcoli, calcoli
Una volta che si conosce la risposta, riconoscere che sia quella giusta è facile, anche per i ragazzini. Trovare la risposta da soli, invece, per molti è difficile: un po’ perché il desiderio di linearità fa cadere in errore i più, ancor prima che si mettano a pensare; un po’ perché – tra coloro che invece vogliono prendersi il tempo di studiare per bene la cosa – molti restano sconcertati dal fatto che sono così pochi i dati del problema e quindi sembra che ne manchino. “Ma quanto è grande il lago? Ma quanto è grande il fiore?”: sono domande che spesso gli alunni si pongono, anche se per risolvere questo problema non serve conoscerne le risposte.
Alcuni alunni si propongono di misurare la superficie del lago prendendo come unità di misura l’area occupata dalla Victoria regia il primo giorno e andando a calcolare l’area occupata dalla pianta acquatica al trentesimo giorno, con l’intento di cercare poi, a posteriori, in quale giorno l’area occupata è proprio uguale alla metà di quella dell’intero lago.
È chiaro, a chi conosce già la soluzione del problema, che questa strategia è enormemente dispendiosa di tempo e di energie, ma vale la pena lasciare che gli alunni seguano la loro strada, incoraggiandoli a non demordere, per almeno tre ragioni:
- un po’ di conti non fanno male a nessuno;
- se gli alunni non hanno mai calcolato potenze oltre il quadrato e il cubo, lasciare che percorrano, almeno per un tratto, questa strada, servirà a farli accorgere di quanto improvvisamente e rapidamente crescono le potenze; provare a gestire questa serie di numeri che “ti scoppia in mano” è estremamente più efficace che leggere sul libro di testo che la funzione esponenziale, da un certo punto in poi, cresce più velocemente di qualsiasi funzione polinomiale;
- può essere che, a furia di calcolare, gli alunni si accorgano che, se è vero che ogni giorno l’area raddoppia rispetto al giorno precedente, è anche vero che ogni giorno l’area occupata dalla Victoria regia è la metà dell’area occupata il giorno seguente e che, quindi, arrivino alla soluzione prima di terminare i calcoli che si erano immaginati di dover fare.
Può succedere che chi ha intrapreso questa strada ad un certo punto si stanchi e non trovi una via alternativa. Piuttosto di lasciare che alcuni alunni rinuncino completamente a dedicarsi al problema, meglio fornire loro qualche strumento, come una calcolatrice o un foglio di calcolo e spronarli a proseguire.
un metodo grafico
In alcune classi in cui è stato sperimentato questo problema ci sono stati alunni che si sono chiesti “Ma che forma ha il fiore?”. Il loro intento, infatti, era quello di provare a risolvere il problema in modo grafico. Quando hanno capito che poteva non essere una informazione essenziale, hanno deciso di provare a vedere che cosa poteva succedere pensando a una Victoria regia di forma quadrata.
Anche in questo caso, è successo (e può succedere) che gli alunni si scoraggino presto: piuttosto che abbandonino ogni speranza, meglio intervenire con un piccolo aiuto. Il video che abbiamo registrato e che condividiamo qui può essere proposto solo agli alunni più in difficoltà, oppure senza audio, oppure solo in parte: sta a ciascuno di noi insegnanti capire di quanto aiuto i nostri alunni hanno bisogno, perché non siano sopraffatti da un iniziale senso di inadeguatezza, ma senza che siano privati del tutto della gioia della scoperta!
Un problema di matematica con effetto sorpresa
Gli studenti più attenti, soprattutto se “freschi” di studio delle potenze, non avranno troppe difficoltà a capire perché l’area occupata dalla Victoria regia corrisponde alla metà della superficie del lago il 29 giugno e molti di loro troveranno da soli la risposta giusta.
Nonostante questo, è facile che ne siano essi stessi stupiti, tanto quanto (se non di più) lo saranno coloro che avranno dato una risposta sbagliata.
Questo “effetto sorpesa” rende davvero memorabile il problema della Victoria regia e, soprattutto, la rapidità con cui improvvisamente aumenta una grandezza in crescita esponenziale.
Un effetto simile si può ottenere anche leggendo con i ragazzi una qualche versione della storia sulla ricompensa richiesta dal leggendario inventore degli scacchi [1] e guardando il video Ricecornparable, diretto dal professor Ehrhard Behrends e realizzato da Wilma Weps, Hauek Strähler-Pohl, Peer Hildebrant e Lars Jeschio.
Sperimentazione e possibili scenari
Questo problema è stato proposto in diverse classi prime della scuola secondaria di primo grado durante i corsi MathUp per gli insegnanti, a partire dall’anno scolastico 2015 / 2016. In prima può essere utilizzato per introdurre le potenze o per passare dalla definizione di potenza alla scoperta del comportamento della funzione esponenziale (senza per forza doverla chiamare in questo modo o doverla trattare in modo formale).
In alcune classi è risultato anche utile proporre questo problema negli anni successivi, come stimolo per tornare a riflettere sulla crescita esponenziale.
Problema tratto da…
Si tratta di un problema classico, di cui esistono diverse versioni.
Nella forma in cui qui lo presentiamo, è stato tratto (con una piccola modifica) dalla bella raccolta di “Problemi per ragazzini dai 5 ai 15 anni” di Vladimir Igorevic Arnold (1934-2010), che ci fa piacere avere così l’occasione di segnalare.
Sono problemi non standard, spesso anche assai complicati, nonostante il titolo della raccolta, ma certo molto significativi. Scrive l’autore nella Prefazione: “Ho messo questi problemi su carta a Parigi nella primavera del 2004, quando alcuni Russi residenti a Parigi mi chiesero di aiutare i loro ragazzi a recuperare la cultura del ragionamento propria della tradizione russa”.
Oggi questi 77 problemi sono disponibili sul sito Imaginary in diverse traduzioni, tra cui anche quella in italiano.
Note
[1] In calce a questo articolo è possibile scaricare un file in formato pdf che contiene la leggenda cui qui si fa riferimento, nella versione raccontata nel libro L’uomo che sapeva contare di Malba Tahan.
