Tre miei amici abitano a Pisa in via Ulisse Dini, in Lungarno Galileo Galilei e in Lungarno Fibonacci. Mi piacerebbe scrivere loro una cartolina, ma non ricordo i tre numeri civici. Mio fratello li sa, ma è dispettoso e mi dice soltanto che il loro prodotto è 36, un’informazione che certo non mi basta!
Dalla finestra vediamo passare un tram e aggiunge allora che la somma dei tre numeri civici è uguale al numero del tram appena passato. Faccio un po’ di conti, e poi sbotto: “Non mi basta! Non riesco nemmeno a trovare i tre numeri!”
Mio fratello a questo punto si commuove e mi dice che il numero civico più grande è quello di chi abita in Lungarno Fibonacci.
Eureka! Ora sì che ce l’ho fatta!
A quali indirizzi spedirò le tre cartoline?
Soluzione
Gli indirizzi sono via Ulisse Dini 2, Lungarno Galileo Galilei 2 e Lungarno Fibonacci 9.
Scrivendo tutte le possibili scomposizioni di 36 nel prodotto di tre fattori, e facendo la somma di questi tre fattori, ci si accorge che quasi sempre c’è una sola terna che ha una data somma. Quando questo avviene, i due dati relativi a prodotto e somma sarebbero sufficienti perlomeno per scoprire i tre numeri civici.
L’unico caso ambiguo si ha con le due terne 1, 6, 6 e 2, 2, 9 entrambe con prodotto 36 e somma 13. Possiamo quindi essere sicuri che è passato il tram 13 e, dato che nel primo caso manca un civico “più grande” di tutti gli altri, possiamo anche concludere che la terna cercata è la seconda e che i tre indirizzi sono quelli qui sopra indicati.
Commenti
Inseriamo in una tabella tutte le possibili terne di numeri interi a, b e c il cui prodotto è 36; nella quarta colonna inseriamo la somma dei numeri a, b e c:
| a | b | c | a + b + c |
| 1 | 1 | 36 | 38 |
| 1 | 2 | 18 | 21 |
| 1 | 3 | 12 | 16 |
| 1 | 4 | 9 | 14 |
| 1 | 6 | 6 | 13 |
| 2 | 2 | 9 | 13 |
| 2 | 3 | 6 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 10 |
Se ne deduce che il tram passato era il numero 13: in tutti gli altri casi, infatti, ci sarebbe stata una sola terna che dava come somma quel numero, sicché quella informazione sarebbe stata sufficiente a risalire ai tre numeri. Può creare confusione l’osservazione che in realtà avremmo ancora avuto il problema di abbinare numero civico a via per ricostruire i tre indirizzi, ma il testo del problema specifica che non si riesce neanche a ricostruire i tre numeri.
Quindi a questo punto siamo certi che i numeri civici possono essere o 1, 6 e 6 oppure 2, 2 e 9.
Con l’ulteriore informazione che il numero civico maggiore corrisponde a Lungarno Fibonacci, si può escludere il caso in cui i numeri civici sono 1, 6 e 6 (perché non prevede un numero civico che sia maggiore di entrambi gli altri), concludere che i tre numeri sono 2, 2 e 9 e risalire da questa agli indirizzi.
Gli indirizzi sono quindi via Ulisse Dini 2, Lungarno Galileo Galilei 2 e Lungarno Fibonacci 9.
Il problema è grazioso perché è, di primo acchito, sconcertante e perché “smonta” la convinzione dei ragazzi sul fatto che “le uniche informazioni significative nei problemi di matematica sono quelle che contengono dei numeri”. In questo problema è significativa l’ultima informazione, sul fatto che il numero civico più grande è quello di chi abita in Lungarno Fibonacci (che ne porta con sé un’altra, preziosa, e cioè il fatto che ci sia un numero civico più grande di tutti e due gli altri).
Questo problema può anche essere utile per soffermarsi sul concetto di multipli, divisori, e scomposizione di un numero in fattori primi. Non è da sottovalutare la difficoltà di elencare tutti i casi in una qualche maniera sistematica, in modo da essere certi di non perderne qualcuno.
Scenari possibili
Questo problema proviene dalla mostra MaTeinItaly (Milano, 2014) e in quell’occasione è stato proposto a un pubblico molto vario, sia pubblico generico, sia classi scolastiche di ogni ordine; inoltre è stato utilizzato in numerosi corsi di aggiornamento per insegnanti. È indubbiamente un problema che può stimolare il ragionamento matematico in persone di età e formazione diverse e in contesti diversi!
Problema tratto da…
Questo problema era uno fra quelli proposti nel percorso della mostra MaTeinItaly (Milano, 2014), e di cui si dava la soluzione a fine visita: è stato quindi sperimentato con un pubblico molto vario, sia classi scolastiche di ogni ordine, sia anche al di fuori di un contesto scolastico.
Inoltre, dal punto di vista della struttura matematica, è identico a “Il problema dei capelli neri” nel volume La formica e il miele di Isabella Bonaiti, Lidia Chiesa e Simona Lanfranchi (Mimesis, 2005).
Problemi collegati
“I tre indirizzi” è una variante del problema Le età dei tre figli, di prossima pubblicazione, in cui è identico l’impianto (e quindi il ragionamento richiesto), ma i numeri sono un po’ più grandi. Assegnare, a distanza di tempo, problemi analoghi ma contestualizzati in modo diverso, può essere utile per verificare quanto la struttura matematica che soggiace al problema sia stata compresa dagli alunni.
Qui sotto trovate infine un video che propone una maniera alternativa con cui presentare il problema agli alunni, giocando sul fatto che il contesto narrativo in cui è inserito si presta a essere raccontato e quasi teatralizzato.
