Scherzi di capodanno

Soluzione

1. Tra il 2000 e il 2022 ci sono altri due anni (oltre al 2022) con le cui cifre si possono scrivere esattamente tre numeri: il 2002 e il 2020.
   Il prossimo anno con queste caratteristiche sarà il 2200.
2. L’unico anno tra il 2000 e il 2022 con le cui cifre si possono scrivere meno di tre numeri è l’anno 2000: con queste cifre l’unico numero che si può scrivere è 2000. Il prossimo anno con le cui cifre si può scrivere solo un numero sarà il 2222.
3. I diciotto numeri diversi che si possono scrivere con le quattro cifre dell’anno 2014 sono: 2014, 2041, 2104, 2140, 2401, 2410;  1024, 1042, 1204, 1240, 1402, 1420;  4012, 4021, 4102, 4120, 4201, 4210. Gli altri anni, compresi tra il 2000 e il 2022, con le cui cifre si possono scrivere esattamente diciotto numeri sono (quelli che hanno 4 cifre tutte diverse fra loro, cioè): 2013, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019.  Dopo il 2022, il prossimo anno con queste caratteristiche sarà il 2031.
4. Per trovare un anno con le cui cifre si possano scrivere più di 18 numeri, bisogna cercare un anno con le cifre tutte diverse tra loro e che non comprendano lo 0. Un esempio è il 2134, con le cui cifre si possono scrivere 24 numeri: sei che cominciano con la cifra 1 (1234, 1243, 1324, 1342, 1423 e 1432), sei che cominciano con la cifra 2, sei con la cifra 3 e sei con la cifra 4.

Commenti

Un problema significativo

permutazioni

L’ambito della matematica che con questo problema si può iniziare a esplorare è quello del conteggio delle permutazioni ovvero di quanti sono i modi diversi di ordinare un numero finito (nel nostro caso 4) di oggetti (nel nostro caso le cifre del nostro sistema di numerazione).

Affrontare questo problema non richiede agli alunni di conoscere a priori la formula che permette di contare le permutazioni di 4 oggetti (tutti diversi o con alcune ripetizioni): i casi che si verificano tra il 2000 e il 2022 possono infatti essere affrontati uno ad uno, andando a scrivere e contare tutte le possibili permutazioni che danno origine a dei numeri scritti correttamente, senza che questo porti via né troppo tempo né troppa energia. Anzi, è proprio questo lavoro di scrittura e di conteggio che può permettere agli alunni:

• di capire che se si vogliono contare tutti gli oggetti con una certa caratteristica, senza rischiare di dimenticarne alcuni o di contarne più di una volta altri, bisogna prima mettere ordine tra gli oggetti che si vogliono contare;
• di capire che – nonostante molti pensino il contrario – procedere in maniera ordinata e sistematica spesso permette di risparmiare tempo, perché consente di scoprire regolarità che altrimenti non si vedrebbero, e di evitare errori (dimenticare un caso è facilissimo e ce ne si accorge soltanto se la maniera di procedere è ordinata);
• di capire quali caratteristiche delle 4 cifre coinvolte influenzano il numero di permutazioni che si possono trovare (la presenza di uno o più zeri, la presenza di una o più cifre ripetute).

sistema di numerazione

Poco sopra, abbiamo scritto che “questo problema non richiede agli alunni di conoscere a priori la formula che permette di contare le permutazioni di 4 oggetti (tutti diversi o con alcune ripetizioni)”.  In realtà dobbiamo anche aggiungere che una tale formula non basterebbe per rispondere alle domande del problema: nel nostro caso infatti alcune permutazioni vanno scartate, perché un numero non può cominciare con la cifra 0.

In alcune delle classi che hanno affrontato questo problema, è sorta una discussione a questo proposito. Di per sè, il testo del problema non lascia ambiguità, perché dichiara che “nel nostro sistema di numerazione la scrittura di un numero non può cominciare con la cifra 0”; però i nostri alunni sono abituati a vedere numeri che iniziano con la cifra zero (ad esempio sul display dell’orologio o della sveglia, o nelle date così come ci viene chiesto di scriverle quando compiliamo un modulo)!

Vale la pena, se gli studenti sollevano il problema, riflettere insieme a loro sul perché in questi casi si assume questa convenzione, diversa da quella che loro stessi indubbiamente usano quando scrivono i numeri sul quaderno di matematica.
Oppure si potrebbe anche usare questa domanda dei ragazzi per “raddoppiare” il problema, e domandarsi come si modificherebbero le risposte se accettassimo lo 0 come cifra iniziale di un numero. Potrebbe essere interessante far osservare ai ragazzi che un’analisi completa e sistematica della situazione diventerebbe notevolmente più semplice.

linguaggio

La precisazione fatta in calce al testo del problema, a proposito del significato della parola prossimo, deriva dal fatto che molti degli alunni delle classi in cui il problema è stato sperimentato hanno dato prova di fraintendere questo aggettivo.

Alla terza domanda, che fornisce l’esempio del 2014 come anno con 18 permutazioni e chiede quale sarà il prossimo anno con 18 permutazioni, molti gruppi hanno risposto “2015”, ma il 2015 è l’anno successivo al 2014 con 18 permutazioni, non il prossimo. L’aggettivo prossimo, infatti, è un aggettivo che presuppone un riferimento al contesto, dato che indica la prima unità di tempo successiva al momento dell’enunciazione.

Volendo, si potrebbe sostituire l’espressione prossimo con qualcosa di più familiare ai ragazzi (ad esempio chiedendo “quale sarà il primo anno, dopo il 2022, con le cui cifre si possono scrivere 18 numeri?”). L’importante, dal nostro punto di vista, è fare qualche domanda che stimoli i ragazzi non solo a controllare e contare tutte le possibilità che ci sono per i numeri dal 2000 al 2022, ma anche capire quando, con le cifre di due anni qualsiasi, siamo certi che si possano scrivere lo stesso numero di anni.

Un problema memorabile

Nelle classi in cui abbiamo proposto questo problema, la fotografia scattata a Dulcigno ha suscitato sincera ilarità e l’ilarità ha suscitato curiosità: è stato un bel modo per introdurre il problema.

Non è potuta non tornarci in mente questa frase di Gianni Rodari, tratta da Grammatica della fantasia:

Nelle nostre scuole, generalmente parlando, si ride troppo poco. L’idea che l’educazione della mente debba essere una cosa tetra è tra le più difficili da combattere.

Un problema aperto

Il problema presenta ai ragazzi diverse situazioni che si possono incontrare, ma non chiede loro un’analisi completa di quanti e quali casi compaiono nel contare le permutazioni delle cifre per un numero con 4 cifre (limitandosi a quelle che danno origine a un altro numero).

Può essere però che i ragazzi stessi siano incuriositi, stimolati dal fatto che anche tra i numeri compresi tra il 2000 e il 2022 compaiono situazioni diverse da quelle sulle quali si sofferma il problema. Se ciò avviene, potrebbe essere il caso di incoraggiarli a scoprire tutti i casi possibili, non tanto (o non solo) facendo ulteriori prove, quanto ragionando su quali caratteristiche delle 4 cifre coinvolte determinano il numero di permutazioni che si possono trovare.

Nel rispondere alle domande del problema, gli alunni possono accorgersi che i numeri di quattro cifre con meno permutazioni (una sola) sono quelli con tre zeri oppure con quattro cifre uguali tra loro. Se gli zeri diminuiscono, le permutazioni aumentano, perché aumenta il numero delle cifre che possono essere usate per le migliaia. Se aumenta la varietà delle cifre, aumenta anche il numero delle possibili permutazioni, perché per ciascuna casella (migliaia, centinaia, eccetera) non c’è più una sola possibilità (come succede se le quattro cifre sono uguali fra loro), ma due, o tre, o addirittura quattro. Notato questo, non sarà difficile ricostruire lo schema di tutti i casi possibili: ci vorrà solo un po’ di pazienza.

Qui di seguito elenchiamo le diverse situazioni che si possono incontrare; le lettere A, B, C, D indicano cifre diverse da zero e diverse tra loro: le useremo (anche) per elencare, in ciascuno dei casi esaminati, tutti i possibili numeri che si trovano usando quelle cifre.

con tre zeri

Con 3 cifre uguali a zero e una non nulla, si può scrivere 1 solo numero (A000); per esempio possiamo scrivere 1 solo numero con le cifre del 2000 o con quelle del 3000.

con due zeri

Ci sono due diverse possibilità, a seconda che le due cifre diverse da zero siano o non siano uguali tra loro:

• se le altre due cifre sono diverse fra loro, si possono scrivere 6 numeri (A00B, A0B0, AB00, B00A, B0A0, BA00), per esempio possiamo scrivere 6 numeri con le cifre del 2010 o con quelle del 2030;
• se le altre due cifre sono uguali fra loro, si possono scrivere 3 numeri (A00A, A0A0, AA00), per esempio possiamo scrivere 3 numeri con le cifre del 2020 o con quelle del 2200.

con un solo zero

Ci sono tre diverse possibilità, a seconda di quante siano le cifre diverse da zero ma uguali tra loro:

• se le altre tre cifre sono uguali fra loro, si possono scrivere 3 numeri (A0AA, AA0A, AAA0), per esempio possiamo scrivere 3 numeri con le cifre del 111 o con quelle del 2202;
• se fra le altre tre cifre ce ne sono due uguali fra loro, si possono scrivere 9 numeri (A0BB, AB0B, ABB0, B0AB, B0BA, BA0A, BAA0, BBA0, BB0A), per esempio possiamo scrivere 9 numeri con le cifre del 2021 o con quelle del 2023;
• se le altre tre cifre sono tutte diverse fra loro, si possono scrivere 18 numeri (A0BC, A0CB, AB0C, ABC0, AC0B, ACB0, B0AC, B0CA, BA0C, BAC0, BC0A, BCA0, C0AB, C0BA, CA0B, CAB0, CB0A, CBA0), per esempio possiamo scrivere 18 numeri con le cifre del 2019 o con quelle del 2031.

con nessuno zero

Ci sono cinque diverse possibilità:

• con quattro cifre uguali fra loro, si può scrivere 1 solo numero (AAAA), per esempio possiamo scrivere 1 solo numero con le cifre del 1111 o con quelle del 2222;
• con tre cifre uguali fra loro; si possono scrivere 4 numeri (AAAB, AABA, ABAA, BAAA), per esempio possiamo scrivere 4 numeri con le cifre del 1999 o con quelle del 2111;
• con due coppie di cifre uguali fra loro, si possono scrivere 6 numeri (AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA), per esempio possiamo scrivere 6 numeri con le cifre del 1991 o con quelle del 2112;
• con due cifre uguali fra loro e le altre diverse tra loro (e diverse dalle prime due), si possono scrivere 12 numeri (AABC, AACB, ABAC, ABCA, ACAB, ACBA, BAAC, BACA, BCAA, CAAB, CABA, CBAA), per esempio possiamo scrivere 12 numeri con le cifre del 1998 o con quelle del 2113;
• con 4 cifre, tutte diverse fra loro, si possono scrivere 24 numeri (ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA), per esempio possiamo scrivere 24 numeri con le cifre del 1987 o con quelle del 2134.

Scenari possibili

Come si diceva più sopra, questo problema non richiede particolari prerequisiti e può quindi essere proposto fin dagli ultimi anni della scuola primaria.  Gli alunni della scuola secondaria di primo grado o del primo biennio della scuola superiore ne saranno comunque incuriositi: a loro si potranno porre altre domande, oltre a quelle già presenti nel testo, anche allo scopo di avviarli alla generalizzazione del calcolo del numero di permutazioni di un insieme finito di elementi.