12 è multiplo di 6 e 20 è multiplo di 4.
Il prodotto 12·20=240 è multiplo di 8.
È sempre vero che, se a è multiplo di 6 e b è multiplo di 4, allora il prodotto a·b è multiplo di 8?
Se non è vero, date l’esempio di due numeri a e b per cui questo non succede; se è sempre vero, spiegate perché ne siete convinti.
Leggi tutto “Multipli e divisori”
Nel dicembre 2021 a Ulcinj (Dulcigno), in Montenegro, è stata montata una decorazione stradale per festeggiare l’arrivo del nuovo anno. Pare che alcuni baldi giovani di notte abbiano cambiato la posizione delle cifre luminose, sicché al mattino gli abitanti di Dulcigno si sono improvvisamente trovati ad attendere il 2202, con un balzo in avanti nel tempo di 180 anni!
Leggi tutto “Scherzi di capodanno”
Vi proponiamo un gioco da fare a coppie.
Servono due dadi e due tabelle (una per ciascun giocatore) con i numeri da 1 a 12, ciascuno ripetuto due volte.
Ogni turno consiste nel tiro dei due dadi, simultaneamente, da parte di un giocatore.
Al proprio turno il giocatore può cancellare dalla propria tabella, in alternativa, o i due numeri usciti o il numero che è somma dei due numeri usciti.
Leggi tutto “Un gioco con i dadi”
Biancaneve divide tra i sette nani il suo raccolto di 77 funghi.
Comincia a servire il più piccolo, Cucciolo, e poi di seguito serve tutti gli altri: Mammolo, Brontolo, Eolo, Dotto, Gongolo e Pisolo.
Ogni nano riceve un fungo in più di quello che l’ha immediatamente preceduto e Biancaneve riesce così a distribuire tutti i funghi raccolti.
Leggi tutto “Biancaneve e i 77 funghi”
Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/R5FFWDh5GoE
La gomma per cancellare descritta nel video-problema è un parallelepipedo i cui spigoli misurano 3,5 cm, 1,8 cm e 1,1 cm.
La ditta che produce queste gomme vuole imballarle in confezioni da dieci gomme ciascuna e sta valutando la possibilità di usare delle scatole già disponibili a magazzino: le scatole rosse (parallelepipedi di dimensioni 7,2 cm, 5,7 cm e 1,9 cm), le scatole blu (parallelepipedi di dimensioni 12 cm, 6,5 cm e 1,5 cm) o le scatole gialle (parallelepipedi di dimensioni 7,4 cm, 3,5 cm e 2,5 cm).
Ai ragazzi si chiede, in particolare, se c’è qualche scatola in cui si riescono a sistemare 10 gomme. Viene anche chiesto di descrivere il procedimento utilizzato per rispondere.
Per cominciare, si può calcolare il volume di una gomma e delle diverse scatole:
In base a questi calcoli si può essere certi che la scatola gialla non riesce a contenere 10 gomme, dato che 64,75 < 69,3.
Non è però possibile, solo dal confronto dei volumi, stabilire molto altro. In particolare, il fatto che il volume della scatola rossa e quello della scatola blu siano maggiori del volume occupato da 10 gomme non basta per poter dire che queste scatole possano contenere 10 gomme, perché le gomme non sono un fluido che può essere versato nella confezione assumendone la forma!
La scatola rossa può contenere effettivamente 10 gomme: possiamo disporle in due file da 5 gomme ciascuna in modo che il lato da 1,8 cm della gomma sia in verticale (e possiamo farlo perché l’altezza della scatola è 1,9 cm e 1,8<1,9). Il fatto che 5×1,1<5,7 ci garantisce che lungo il lato da 5,7 cm ci stanno i lati da 1,1 cm di 5 gomme; il fatto che 2×3,5<7,2 ci garantisce che lungo il lato da 7,2 cm ci stanno i lati da 3,5 cm di 2 gomme.
Per quanto il volume della scatola blu sia ancora più grande di quello della scatola rossa, la scatola blu non può contenere 10 gomme. L’altezza della scatola (1,5 cm) infatti rende obbligatorio disporre le gomme in modo che il lato da 1,1 cm sia in verticale (gli altri lati della gomma infatti sono entrambi più lunghi di 1,5 cm). Con qualche tentativo, non è difficile rendersi conto che più di 9 gomme non possono essere inserite nella scatola blu.
L’idea per Le confezioni della BestEraser è nata dalla discussione sorta tra alcuni insegnanti in merito a questo problema (tratto da un sussidiario per la scuola primaria):
Per alcuni degli insegnanti che hanno partecipato alla discussione, il problema così posto non poteva essere risolto, perché nulla si dice sulla forma delle scatole; altri giungevano alla stessa conclusione, dando però per scontato che le scatole fossero dei parallelepipedi e lamentando il fatto di non conoscerne le dimensioni; altri ancora calcolavano il volume della cassa cubica (48 cm x 48 cm x 48 cm = 110592 cm3) e lo dividevano per il volume della singola scatola (110592 cm3 : 96 cm3 = 1152).
È bastato poco, tra colleghi, per trovare quale errore e quale “pregiudizio” si nascondesse sotto la sicurezza di chi sosteneva che nella cassa si potessero inserire 1152 scatole, indipendentemente dalla loro forma; è bastato chiudere gli occhi e cercare di immaginarsi la situazione, per capire che se le scatole da inserire sono sferiche o cilindriche, o hanno forme poliedriche ma bislacche, si “perde” un sacco di spazio. La discussione è proseguita poi per cercare di costruire per gli alunni un problema con un testo meno “perentorio”, che di per sé li invitasse a discutere e a non dare troppe cose per scontate.
Quanto raccontato nel video-problema non è un puro espediente, ma corrisponde a un problema reale, che si pone spesso a coloro che si occupano di attività produttive e commerciali: quello di impacchettare un certo numero di prodotti in una confezione oppure di ottimizzare la maniera di caricare in un camion un certo numero di scatole, magari anche di forme e dimensioni diverse.
I problemi di impacchettamento possono diventare davvero difficili, ma anche questo – nella sua relativa semplicità – è significativo perché fa capire come non sia sufficiente ragionare col volume degli oggetti e del contenitore in questione (nel nostro caso le gomme e le scatole), ma è necessario tenere conto della loro forma e dei differenti modi per disporre gli oggetti nel contenitore.
Se avessimo a che fare con fialette contenenti 6,93 cm3 di un certo liquido e volessimo riversare questo liquido in una bottiglietta della capacità di 117 cm3, basterebbe calcolare 117:6,93 per sapere che potremmo svuotare nella bottiglietta più di 16 ma meno di 17 fialette. Però se 6,93 cm3 è il volume di una gomma e 117 cm3 quello di una scatola, il risultato di questa divisione non ci dice molto.
Il volume ci dà effettivamente delle informazioni. E possono anche essere informazioni che tagliano la testa al toro in modo molto comodo: per esempio, è bastato calcolare il volume della scatolina gialla per dire che essa non può contenere 10 gomme (perché il suo volume è minore di quello di 10 gomme). In generale, il fatto che una scatola abbia il volume maggiore del volume di 10 gomme è una condizione necessaria affinché la scatola contenga 10 gomme.
Non è però una condizione sufficiente. Lo si può capire facilmente pensando ad una scatola anche dal volume enorme, con due dimensioni enormi, ma con la terza dimensione minore di 1 cm (e quindi più corta dello spigolo più piccolo della gomma, lungo 1,1 cm): in una scatola di questo tipo, per quanto il suo volume possa essere arbitrariamente grande, non si riesce a infilare nemmeno una gomma!
Da questa osservazione è possibile ricavare una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché si possano inserire 10 gomme in una scatola: se una delle dimensioni della scatola è (anche di poco) più grande di una delle dimensioni della gomma moltiplicata per 10, basta che ciascuna delle altre due dimensioni della scatola sia (anche di poco) più grande di una delle altre due dimensioni della gomma; in questo caso le gomme si potranno inserire nella scatola in una unica fila formata da 10 gomme.
Un’altra condizione sufficiente (ma, ancora, non necessaria) affinché si possano inserire 10 gomme in una scatola potrebbe essere questa: se una delle dimensioni della scatola è (anche di poco) più grande di una delle dimensioni della gomma moltiplicata per 5, e un’altra dimensione della scatola è (anche di poco) più grande del doppio di un’altra dimensione della gomma, basta che la terza dimensione della scatola sia (anche di poco) più grande della terza dimensione della gomma; in questo caso le gomme si potranno inserire nella scatola in due file sovrapposte formate da 5 gomme ciascuna.
Queste condizioni sono facili da verificare con i conti o con il righello (che misura lunghezze e non volumi!) come suggerito nel video, anche senza costruire in cartoncino 10 modellini di gomme: conti o righello possono essere utilizzati per controllare quante volte le dimensioni della gomma siano contenute in quelle delle scatoline, focalizzando l’attenzione sulle dimensioni lineari.
Chiaramente nessuna di queste due condizioni è necessaria, dal momento che non si richiede che tutte le gomme siano riposte “nello stesso modo” all’interno della scatola. Con questo intendiamo dire che, per quanto quelle di questo tipo siano le disposizioni con le quali ci viene più “naturale” fare i primi tentativi, non è detto che gli spigoli delle gomme di uguale lunghezza debbano essere tutti paralleli e quindi molte altre disposizioni sono possibili.
Possiamo prevedere, accettare e addirittura stimolare sia un approccio molto concreto a questo problema (quello di chi costruisce i modellini in cartoncino e va per tentativi) sia un approccio più astratto (quello di chi si mette a ragionare direttamente sulle misure).
Se in una classe gruppi di alunni diversi useranno diversi approcci, confrontarli durante la discussione finale sarà un arricchimento per tutti.
Potrebbero inoltre emergere modi diversi di sistemare lo stesso numero di gomme all’interno della stessa scatola. Anche questa molteplicità di proposte sarà da valorizzare: spesso abbiamo (e più noi adulti dei ragazzi…!) un modo di pensare molto rigido e stereotipato per cui, se siamo abituati a vedere la gomma appoggiata al tavolo in un certo modo, tendiamo a pensarla solo in quella posizione anche quando dobbiamo immaginare come riporla nella scatola. Se qualche gruppo non riuscisse a inserire 10 gomme nella scatola rossa, ciò potrebbe essere dovuto proprio al continuare a pensare alle gomme appoggiate al fondo della scatola sulla loro faccia “più estesa”: vedere le 10 gomme inscatolate dai loro compagni potrà aiutarli a superare questa rigidità.
Sono tante le domande che potrebbero nascere nei ragazzi, o che l’insegnante potrebbe porre loro per continuare a riflettere sui nodi proposti da questo problema o per verificarne l’effettiva comprensione. Ad esempio:
Questo video-problema può essere tranquillamente proposto in una classe terza della scuola secondaria di primo grado.
Ma può essere proposto pure in una classe quinta della scuola primaria, anche senza dover dare a ciascun gruppo di lavoro le dieci gomme e le tre scatoline, a patto di averli fatti lavorare in precedenza su alcuni esempi concreti: quante risme di carta ci stanno nel cassetto della cattedra? Quante scatole di un certo tipo ci stanno nell’armadio della classe? Quanti volumi dell’enciclopedia ci stanno nello scaffale della libreria della biblioteca? Quanti pacchetti di fazzolettini di carta ci stanno nella scatola che la maestra ha portato per tenerli in classe?
Come già specificato, non è necessario che ogni gruppo di lavoro abbia a disposizione le tre scatole e le 10 gomme, anzi: il fatto di non averle (o di essere sufficientemente pigri per non aver voglia di costruirsene dei modelli in cartoncino) può spronare verso il ragionamento e l’astrazione.
È però importante che venga lasciata la possibilità a chi ne sente l’esigenza di costruirsi questi modelli in cartoncino, in modo da verificare le proprie ipotesi o da avere abbastanza elementi per formularne di nuove.
Un modello concreto costruito dall’insegnante, o le foto riportate in questo articolo, o alcuni disegni ben fatti possono essere d’aiuto per convincere alunni particolarmente scettici e particolarmente in difficoltà.
Tra i Problemi per matematici in erba ce n’è un altro, sempre legato a come alcuni parallelepipedi possano essere inscatolati in un parallelepipedo più grande: La fabbrica di saponette.
I due problemi, per quanto simili, offrono spunti di riflessione diversi e complementari.
Giovanna, come compito per casa, deve trovare il volume di un prisma che ha questa forma:
Sa che la base è una stella regolare a cinque punte i cui lati misurano tutti 2 cm e sa che il prisma è alto 5 cm. Però non ha la più pallida idea di come calcolare l’area della stella.
Leggi tutto “Un prisma stellare”
Questo è un problema che potreste esplorare anche a occhi chiusi, cercando di esercitare la vostra fantasia, e discutendo fra di voi in modo da usare l’immaginazione di tutti. Pensiamo però che a un certo punto vi sarà utile aprire gli occhi e provare a costruire qualche oggetto.
Leggi tutto “Prismi, piramidi e altro”
Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/lNfwicOaAHs
A partire dal reticolo esagonale allegato a fondo pagina (citato nel video come “il disegno di Simone”) è possibile costruire un solido che ricorda un pallone da calcio.
Il solido che si ottiene nel video e che assomiglia a un pallone da calcio ha 20 facce esagonali e 12 “buchi” pentagonali, in corrispondenza di ciascuno dei quali possiamo immaginare una faccia.
Nel reticolo che appare sul disegno mostrato nel video si possono contare 39 esagoni, 8 dei quali vengono poi “eliminati” dai tagli lungo le linee continue.
La richiesta di scrivere delle istruzioni precise, che consentano a chi non ha visto il video di ricostruire il solido, può essere soddisfatta in molti modi.
Dalle istruzioni deve emergere il fatto che alcuni esagoni vanno incollati su altri esagoni, lasciando dei “buchi” a forma di pentagono. Come suggerito nel video, indicare sullo stesso disegno quali esagoni vadano incollati su quali altri potrebbe facilitare di molto le cose.
Spesso, nella scuola, si parla della necessità di sviluppare le capacità di visualizzazione spaziale degli alunni. Particolarmente rilevante è, a questo proposito, la capacità di pensare il solido che si può costruire a partire da un certo sviluppo piano. Questa abilità può essere allenata attraverso varie esperienze concrete, purché sempre accompagnate da opportune riflessioni: costruire solidi a partire dal loro sviluppo piano; disegnare lo sviluppo piano di un solido dato; individuare sviluppi piani diversi dello stesso solido; indicare – su un dato sviluppo – quali lati dei poligoni che lo compongono andranno a combaciare con quali altri lati per costruire un certo solido…
In questo problema, le abilità di visualizzazione spaziale degli alunni entrano ancor più in gioco, insieme alla immaginazione, in quanto il reticolo esagonale disegnato sul foglio di carta NON coincide con lo sviluppo piano del solido: ci sono tanti esagoni di troppo e… mancano i pentagoni!
Dove si nascondono alcuni esagoni? Da dove vengono i pentagoni? Nello scrivere le istruzioni richieste, gli alunni dovranno, in un certo senso, rispondere a queste domande.
La situazione che si presenta più frequentemente è questa: 6 esagoni disposti ad anello attorno a un settimo esagono completamente delimitato da linee continue (e che quindi diventerà un buco nel reticolo); i 6 esagoni diventano 5 perché uno di essi viene incollato su un altro e l’esagono centrale diventa un buco pentagonale.
Ma ci sono anche coppie di esagoni che sul reticolo sono “lontani” e che devono essere incollati uno sull’altro: lo si capisce anche prima di aver costruito il solido, perché altrimenti non si potrebbe ottenere qualcosa che assomiglia a un pallone. Non è però facile capire di quali esagoni si tratti, se ci si limita a osservare il reticolo o a guardare il video! Dopo aver costruito il solido, però, attraverso un gioco di passaggi continui dalla manipolazione alla riflessione (e viceversa), dal pensare al toccare (e viceversa), dal costruire a occhi aperti all’immaginare a occhi chiusi (e viceversa) i ragazzi potranno concludere che gli esagoni “lontani” da incollare uno sull’altro saranno quelli indicati in FIGURA 2 con le etichette 1 e 1bis, 19 e 19bis, 20 e 20bis.
Una buona dose di immaginazione serve anche per vedere l’analogia tra il pallone da calcio e l’oggetto, pieno di buchi, che si costruisce col cartoncino, nonché tra questo oggetto e il poliedro archimedeo con 20 facce esagonali e 12 facce pentagonali che è rappresentato nella figura qui sotto.
Tanti fattori possono rendere questo problema memorabile: lo stupore che si prova nel vedere che da un reticolo fatto di soli esagoni nasce un solido in cui si individuano anche dei pentagoni, il fatto che si parli di un oggetto tanto comune quanto amato come il pallone da calcio, il fatto che i ragazzi si scoprano capaci di costruire da soli qualcosa di veramente bello…
Ciascun insegnante, nel contesto della propria classe, saprà agganciare a questo problema discussioni, riflessioni e scoperte in modo tale che tornino facilmente alla mente degli alunni, ogni volta che rivedranno o ripenseranno a un pallone da calcio!
In questo video-problema si chiede agli alunni di contare quanti sono gli esagoni e quanti sono i buchi pentagonali nell’oggetto che si costruisce a partire dal reticolo esagonale, che è come contare gli esagoni e i pentagoni che, una volta cuciti insieme, formano un pallone da calcio; ed è anche come contare le facce del poliedro che il pallone da calcio richiama.
È probabile che, mentre cercano di risolvere questo problema, gli alunni stessi si pongano ulteriori domande ed è utile che l’insegnante le raccolga, soprattutto se intende approfondire alcune questioni.
È sorprendente la necessità (a volte quasi impellente) che i ragazzini hanno di dare un nome agli oggetti che imparano a riconoscere. E i nomi di questo poliedro possono far nascere altre domande.
Un nome attribuito a questo poliedro è icosaedro tronco (o troncato): perché?
Una risposta “visuale” (che, a seconda dell’età degli studenti, si potrà tradurre in modo sempre più appropriato nel linguaggio della geometria) si trova nel video qui sotto, tratto dal canale YouTube Mnogogranniki Ru (un canale educativo russo, tutto dedicato ai poliedri). Nel video si mostra come questo poliedro si ottiene a partire da un icosaedro “tagliando via”, intorno a ciascuno dei 12 vertici, una piramide (che sarà a base pentagonale, perché in ogni vertice arrivano 5 facce).
Qualcuno indica questo poliedro come poliedro uniforme (5, 6, 6): perché?
Si tratta di un poliedro uniforme perché intorno a ogni suo vertice arrivano gli stessi poligoni e, inoltre, comunque si fissino due vertici, è possibile rigirare il poliedro in modo da spostare il primo nella posizione del secondo. Queste caratteristiche fanno sì che il poliedro si possa identificare con una serie di numeri che indicano (in ordine) il numero di lati delle facce che arrivano in uno stesso vertice. Il nostro poliedro dunque è un poliedro uniforme di tipo (5,6,6): in ogni vertice arrivano un pentagono regolare e due esagoni regolari.
Questa domanda equivale a chiedersi quante sono le cuciture che bisogna fare per costruire il pallone da calcio a partire da pezze esagonali e pentagonali.
Per rispondere, gli alunni possono iniziare a contare spigolo per spigolo, magari aiutandosi con un pennarello per non rischiare di contare lo stesso spigolo due volte. Non è raro, però, che (pensando al pallone da calcio e alle pezze da cucire insieme) in qualche gruppo i ragazzi si accorgano che ogni cucitura unisce due lati, di due pezze diverse. I lati delle pezze esagonali sono 20×6=120; i lati delle pezze pentagonali sono 12×5=60; i lati sono quindi in tutto 180 e le cuciture da fare saranno 180:2=90.
Contate le facce e contati gli spigoli, si possono contare (uno alla volta, o con qualche strategia che faccia riferimento alla simmetria del poliedro) anche i vertici.
A partire da questo e da altri problemi che abbiano a che fare con il numero di facce, vertici e spigoli di un poliedro, si potranno avvicinare gli alunni alla relazione di Eulero, dando così loro l’occasione di toccare un nodo della matematica profondo e importante, di cui parleremo nella sezione Quasi un libro.
La difficoltà di questo problema, inizialmente, potrebbe sembrare di tipo manuale. In realtà i ragazzi si accorgeranno presto che la costruzione di questo solido non è più complicata di quella di tanti altri che si possono fare con cartoncino, forbici e colla: la costruzione di molti solidi, anche se apparentemente più semplici, richiede infatti maggior precisione nei tagli (perché gli angoli delle facce o tra una faccia e l’altra sono più stretti) o nella fase di incollaggio (perché le superfici da incollare sono più sottili o difficili da stringere tra le dita).
La vera difficoltà sta nello scrivere delle istruzioni che servano a qualcuno che non ha potuto vedere il video: occorre osservare bene quanto viene proposto dall’insegnante, provare a ripeterlo (probabilmente più volte) focalizzando l’attenzione sui diversi passaggi che si compiono e trovare un modo per descriverli che sia davvero utile allo scopo. Entrano qui in gioco abilità e competenze linguistiche, perché i ragazzi dovranno fare un uso appropriato ed efficace del linguaggio; ma entrano in gioco anche abilità e competenze che hanno molto a che fare con la matematica e con il pensiero computazionale, per quanto non si vedano numeri, né calcoli, né calcolatori automatici!
Le sorprese suscitate da questo problema possono essere tante, a seconda della classe a cui lo proponiamo.
Chi non ha mai osservato da vicino un classico pallone da calcio e non ha mai notato le cuciture che caratterizzano la sua superficie risulta sorpreso nello scoprire che non si tratta di una sfera perfetta e uniforme, bensì del risultato di tanti singoli poligoni che si inarcano verso l’esterno per effetto della pressione dell’aria interna al pallone stesso.
Molti di quelli che, invece, queste cuciture le hanno già notate si stupiscono del fatto che i singoli pezzi non sono tutti esagoni, anche se con poco sforzo (pensando alla tassellazione del piano in esagoni che si può immaginare guardando i favi di un’arnia o i pavimenti di molte cucine…) si accorgono che, con esagoni soltanto, non si può fare una palla: tre esagoni regolari posti attorno a un unico vertice si uniscono uno all’altro formando una superficie piana.
Quasi tutti si stupiscono, a buon conto, che dal reticolo di soli esagoni si possa costruire il pallone da calcio: non è facile, all’inizio, immaginare che basti lasciare dei buchi pentagonali per ottenere l’effetto desiderato!
Questo problema si presta ad essere proposto a livelli molto diversi (meglio se adeguando il tono del racconto e delle richieste all’età dei nostri interlocutori).
Per alunni della scuola primaria, potrebbe essere il coronamento di una serie di attività sui poliedri o sulla geometria solida, mentre per alunni della scuola secondaria potrebbe essere usato come avvio allo studio dei poliedri (per il primo grado) e della relazione di Eulero (per il secondo grado).
A fondo pagina è possibile scaricare il file con il reticolo di cui si parla nel video-problema.
È opportuno dare a ogni alunno questo reticolo stampato su cartoncino (quello da 120 g/m2 è dello spessore adatto), in modo da poter costruire il proprio pallone da calcio. È altrettanto opportuno che ogni alunno, o ogni gruppo, riceva qualche copia in più, stampata anche solo su carta, per poterci lavorare al fine di scrivere le istruzioni richieste.
Lo shampoo che utilizzate usualmente si trova in due formati e i due corrispondenti flaconi hanno proprio la stessa forma. Avete in casa tre flaconi, uno grande e due piccoli: i due piccoli sono ancora pieni, mentre quello grande è quasi vuoto, c’è proprio solo un fondo. Vorreste travasare i due piccoli in quello grande, ma vi seccherebbe scoprire a metà travaso di doverlo interrompere perché il contenuto dei due flaconi piccoli non ci sta in quello grande.
Leggi tutto “I flaconi di shampoo”
Il brano che segue è tratto da I viaggi di Gulliver di Jonathan Swift:
“Feci allora un gesto per indicare che volevo bere. Dal mio modo di mangiare avevano capito che una piccola quantità non mi sarebbe bastata; ed essendo un popolo ingegnosissimo, con molta abilità issarono una delle loro botti più grandi, la fecero rotolare verso la mia mano e la scoperchiarono in alto; io bevvi tutto in un solo sorso, cosa che potevo ben fare poiché conteneva appena una mezza pinta e aveva il gusto di un leggero vino di Borgogna, ma assai più squisito.”
Leggi tutto “I viaggi di Gulliver”
Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/HSvPk-GAxEk
Per condividere con gli alunni il video con la soluzione del problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/RwQ3uHWNmS8
“Un taglio ad effetto” è un bel problema senza numeri: niente dati, niente operazioni, niente diagrammi di flusso… L’unica cosa che serve per risolverlo è una buona dose di immaginazione.
Per quanto il problema sia ambientato in una cucina e sia presentato attraverso un linguaggio semplice, esso tratta di argomenti di tutto rispetto: il cilindro, le sezioni piane di un solido, la circonferenza, l’ellisse, le linee rette, le linee curve. Addirittura spunterà una sinusoide: naturalmente, il problema non richiede che i ragazzi già la conoscano, né si pone l’obiettivo di farla loro conoscere; possiamo però cominciare a farla osservare, il che faciliterà loro la vita quando più avanti la incontreranno.
Difficilmente ci si può dimenticare di un problema di questo tipo, un po’ per come è presentato (attraverso oggetti concreti molto familiari ai ragazzi e di fronte ai quali di solito non pensano alla matematica), un po’ per il fatto che la soluzione è davvero sorprendente.
Soprattutto diventa impossibile dimenticarsene, come spesso accade, se si è davvero passato un po’ di tempo a cercare di risolverlo, a immaginarsi a cosa potrebbe assomigliare il foglio arrotolato attorno al würstel, tagliato e srotolato.
Non c’è un motivo specifico “in sé” che renda importante sapere (soprattutto per ragazzini della scuola media) come appare il foglio quando lo srotoliamo. In altre parole, il motivo per cui presentiamo il problema non è tanto il risultato, ma tutta una serie di “piccole cose” che possono derivare dal tentativo di immaginare la soluzione e che riguardano il modo di imparare la matematica, attraverso un processo di ricerca. È di queste cose che parleremo nel prossimo paragrafo.
Affrontare problemi come questo può aiutare i ragazzi a farsi un’idea della matematica e del come impararla un po’ più corrispondente al vero di quanto non lo siano stereotipi molto diffusi:
Il secondo video, quello in cui viene presentata la risposta al quesito posto dal problema, termina con una domanda: una volta scoperto com’è fatto il taglio, riusciamo a capire perché è fatto proprio così?
Potrebbe essere questa una delle prime direzioni verso le quali puntare con i ragazzi, sia nel caso in cui qualcuno fosse riuscito ad immaginare il giusto “profilo” del taglio, sia nel caso in cui tutti avessero pensato ad un “profilo” sbagliato, o non fossero riusciti ad immaginare alcunché.
Due osservazioni possono essere alla portata anche dei ragazzini della scuola secondaria di primo grado, o degli ultimi anni della scuola primaria.
Fatte queste osservazioni, un buon modo per verificare se tutti le hanno interiorizzate può essere quello di chiedere ai ragazzini di disegnare come immaginano il profilo del taglio sul foglio srotolato quando il coltello fosse più o meno inclinato rispetto all’asse del würstel: che cosa rimane uguale a prima? che cosa cambia? come cambia?
Più sono grandi i ragazzi ai quali ci rivolgiamo, più avrà senso usare i termini specifici del linguaggio della matematica per descrivere i “personaggi” di questo problema: ecco allora che il würstel diventerà un cilindro, il coltello una sezione piana del cilindro, la “circonferenza allungata” una ellisse, il “profilo” del taglio sul foglio srotolato una sinusoide.
Per i ragazzi della scuola secondaria di secondo grado potrebbe essere un problema interessante quello di determinare la funzione il cui grafico corrisponda al “profilo” del taglio. A chi conosce già un po’ di trigonometria, verranno sicuramente in mente le funzioni seno e coseno, ma… si tratta solo di una somiglianza, o la curva che vogliamo descrivere è proprio una sinusoide? ascissa e ordinata dei punti di questa curva, a cosa dovranno corrispondere sul cilindro? quale funzione lega l’ascissa e l’ordinata di questi punti? da quali parametri potrebbe dipendere il grafico della funzione trovata?
Cliccando sull’immagine qui sotto, si accederà ad una risorsa condivisa sul portale GeoGebra in cui abbiamo cercato di evidenziare le corrispondenze descritte poco sopra.
Una volta compreso perché il foglio tagliato e srotolato mostra un certo “profilo”, avrà senso chiedere (anche a ragazzini più piccoli):
Grazie a domande come queste, l’insegnante potrà capire se gli alunni si sono impadroniti della situazione, se hanno interiorizzato le riflessioni condivise sul perché il profilo del taglio è fatto in un certo modo.
Dal canto loro, i ragazzi potrebbero fare esperienza di una realtà fondamentale: se immaginare la curva nella situazione proposta dal problema sarà stato difficile (o, per qualcuno, impossibile), l’avere analizzato la situazione con occhi da matematici in erba permetterà loro di immaginare adesso situazioni diverse, con maggior consapevolezza e con maggior probabilità di successo.
E, grazie alle stesse domande, gli insegnanti potrebbero capire quanto gli alunni hanno interiorizzato
L’effetto sorpresa di questo problema è quasi garantito e, di fatto, già nei paragrafi precedenti ne abbiamo parlato.
Sotto la supervisione di un adulto sarebbe anche bene che gli alunni potessero sperimentare l’emozione di “fare una sorpresa” a qualcun altro: ai compagni di scuola di altre classi o, a casa, ai fratelli e agli ignari genitori.
L’emozione di “sapere come va a finire” una storia che gli altri non conoscono è una emozione positiva, che infonde sicurezza in chi la prova e che troppo raramente alcuni alunni riescono a provare: questa potrebbe essere l’occasione giusta!
I bambini della scuola primaria possono comprendere la richiesta del problema, possono usare la propria immaginazione e poi confrontare il prodotto della propria fantasia con il foglio effettivamente tagliato. Se saranno sinceri, difficilmente ci diranno di aver immaginato correttamente l’effetto del taglio sul foglio di carta, ma non per questo il problema sarà stato per loro poco significativo, anzi! Tutto ciò che si diceva prima a proposito dell’effetto sorpresa sarà sicuramente valido.
I ragazzi della scuola media potranno, probabilmente, descrivere meglio in termini matematici la situazione concreta: il würstel potrà diventare un cilindro, il coltello un piano, il foglio srotolato potrà diventare un altro piano, l’effetto del taglio sul foglio srotolato potrà essere considerato una curva piana. In base alla nostra esperienza, però, ci sentiamo di dire che tutto questo avverrà solo “a posteriori” e che anche per gli alunni della scuola secondaria di primo grado l’effetto sorpresa è garantito.
Studenti di scuola superiore ben abituati a “pensare geometricamente” potrebbero immaginare senza difficoltà la curva generata dalla sezione, ma sono davvero tanti i nostri alunni abituati al “pensiero geometrico”? Se così non fosse, questo problema può essere un primo tassello per aiutarli a riscoprirlo.
Non è necessario che gli alunni svolgano in prima persona l’attività descritta in questo problema (ed è comunque sconsigliabile che lo facciano da soli).
Sotto la supervisione di un adulto, però, potrebbe essere interessante che confermassero o falsificassero da soli le proprie ipotesi. In questo caso avranno bisogno di un würstel, un foglio di carta, un tagliere e un coltello.
L’attività che qui abbiamo proposto sotto forma di problema è presentata, con alcune varianti, anche su alcune “fonti autorevoli” che ci piace qui citare.
La prima è Matematica per istantanee di Hugo Steinhaus (Zanichelli, 1994, traduzione italiana di Mathematical Snapshot, la cui prima edizione è del 1938): l’autore proponeva di avvolgere il foglio attorno ad una candela (invece che ad un würstel), ma il problema era sostanzialmente lo stesso.
La seconda è l’articolo Unwrapping Curves from Cylinders and Cones di Tom M. Apostol e Mamikon A. Mnatsakanian (The Mathematical Association of America, monthly 114, May 2007), in cui viene proposta una variante che sarebbe bello qualche alunno provasse a realizzare, magari riprendendosi in un video. Immergendo parzialmente un rullo in una vaschetta di pittura (in modo che l’asse del rullo non sia né perpendicolare né parallelo al piano della superficie della pittura) e facendo poi scorrere il rullo su una superficie piana, si può ugualmente ottenere il profilo di una sinusoide.
Per condividere con gli alunni il video che presenta questo problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/-YKYb50LzY8
Ciascuna piramide ha 5 facce: un quadrato, due triangoli rettangoli isosceli uguali tra loro e altri due triangoli rettangoli uguali tra loro.
Ciascuna piramide ha 8 spigoli e 5 vertici.
Se lo spigolo del cubo che si ottiene unendo le tre piramidi misura 7 cm, le misure richieste nel problema (facendo riferimento alla figura qui sopra) sono le seguenti:
Lo sviluppo piano della piramide descritta può essere rappresentato in modi diversi, ad esempio:
Se indichiamo con s la misura dello spigolo del cubo che si ottiene unendo le tre piramidi, le misure richieste nel problema (facendo riferimento alla figura qui sopra) sono le seguenti:
“Le tre piramidi e il cubo” permette, manipolando e osservando oggetti molto semplici, di avvicinarsi ad alcuni fatti della geometria solida elementare che tanto elementari non sono.
Per prima cosa, il problema fornisce un esempio concreto di piramide che (pur essendo una semplicissima piramide a base quadrata) è diversa da quelle che fanno parte dell’immaginario collettivo (come le piramidi d’Egitto) e che sono piramidi rette (ossia piramidi nelle quali il piede dell’altezza cade nel centro della circonferenza inscritta nel poligono di base). È buffo vedere come nei libri di testo della scuola media non si lavori mai su piramidi che non siano rette!
In secondo luogo, il problema permette di visualizzare la diagonale del cubo e la diagonale delle facce del cubo. Un altro modello molto utile a questo scopo è quello dello “scheletro” di un cubo costruito, per esempio, con cannucce e scovolini da pipa.
Inoltre questo problema rende visibile, in un caso particolare, il fatto che il volume di una piramide è 1/3 del volume di un parallelepipedo con lo stesso poligono di base e la stessa altezza. Non si tratta di una dimostrazione, chiaramente: è però un buon modo per convincere i ragazzi del fatto che la “formula” che trovano sul libro è plausibile e per rendere quella stessa formula più facile da memorizzare.
“Le tre piramidi e il cubo” insegna, a proposito dell’apprendimento, che a volte possiamo conoscere meglio qualcosa scomponendolo in parti o, viceversa, componendo parti più semplici a formare un tutt’uno più complesso.
Questa abilità del passare dalla parte al tutto (e viceversa) o da un problema a dei sotto-problemi (e viceversa) si costruisce nel tempo, anche affrontando problemi come questo, in cui la parte e il tutto sono oggetti concreti.
Come si diceva poco sopra, è probabile che i ragazzi, dopo aver toccato con mano le tre piramidi e il cubo che esse formano, ricordino più facilmente il fattore 1/3 nella formula che lega il volume della piramide all’area di base e all’altezza.
Una delle direzioni verso le quali è possibile proseguire il discorso aperto da “Le tre piramidi e il cubo” è quella dell’avvio all’algebra.
Nel video viene chiesto ai ragazzi più grandi (immaginiamo quelli della classe terza della scuola secondaria di primo grado, ma tutto dipende dal livello di confidenza raggiunto nell’uso delle lettere come numeri) di esprimere le lunghezze degli spigoli e le aree delle superfici delle facce della piramide in funzione della misura s dello spigolo del cubo.
A meno che i ragazzi abbiano già imparato a memoria eventuali formule presenti sul libro di testo, la cosa più difficile è manipolare l’algebra che permette di determinare, applicando il teorema di Pitagora, le misure della diagonale del quadrato e della diagonale del cubo.
La misura della diagonale BV della faccia del cubo è data da
√(s2+s2)=√(2s2)=√2·√s2=√2·s
La misura della diagonale CV del cubo è data da
√(s2+(√2·s)2)=√(s2+2s2)=√(3s2)=√3·√s2=√3·s.
Se i ragazzi da soli non riuscissero in questa “impresa”, vale la pena di accompagnarli, perché questo calcolo (se non lo si fa diventare un mero esercizio di tecniche imparate a memoria) permette di ritornare sulla definizione di radice quadrata e sul suo significato.
È esperienza comune di noi insegnanti, infatti, quella di ragazzini (e non solo ragazzini!) che sanno calcolare la radice quadrata di quadrati perfetti grandissimi, o sanno approssimare la radice quadrata dei numeri più strani (usando le tavole numeriche, la calcolatrice, o qualche algoritmo imparato più o meno a fatica), ma poi non sanno rispondere a domande come “qual è il quadrato di √3?” o che, per rispondere a domande tipo “qual è la radice quadrata del quadrato di 57?” prima calcolano il prodotto di 57×57 e poi estraggono la radice quadrata.
Trovare l’area delle facce della piramide non dovrebbe creare grosse difficoltà:
Nelle classi in cui abbiamo proposto questo problema è stato interessante chiedere l’area totale della superficie dello sviluppo piano della piramide. Si è infatti creata l’occasione per rispondere, con un esempio, a una domanda pressante da parte dei ragazzi: a che cosa serve il calcolo letterale? L’espressione che si ottiene applicando la proprietà distributiva alla somma delle singole aree è questa:
(2+√2)s2.
I ragazzi vedono immediatamente che questa espressione, anche se ha richiesto un po’ di “lavoro con le lettere” è più facile da gestire (ad esempio se chiediamo ai ragazzi di disegnarne il grafico o di farlo disegnare ad un foglio di calcolo) rispetto a quella “non semplificata”:
s2+2·(s2/2)+2·(√2·s2)/2.
Inoltre è interessante notare, insieme ai ragazzi, che le due espressioni possono essere entrambe utili per capire cose diverse: se la prima dice immediatamente che la misura della superficie dello sviluppo piano della piramide dipende solo dallo spigolo di base ed è direttamente proporzionale al suo quadrato, la seconda è di lettura meno immediata, ma può essere utile per mettere in evidenza l’area delle singole facce della piramide.
Nel video l’effetto sorpresa è “vanificato” dal fatto che il cubo viene mostrato presto. Ma può essere riconquistato facendo effettivamente costruire ai ragazzi le tre piramidi (una volta scoperto come deve essere lo sviluppo piano) e lasciando che essi chiedano ad amici e parenti se riescono a ricostruire, con esse, un cubo.
Il problema è, nel suo complesso, particolarmente adatto alle classi terze della scuola secondaria di primo grado o alle classi prime della scuola secondaria di secondo grado.
Evitando di indugiare sulla domanda che richiede un minimo di confidenza con l’uso delle lettere per esprimere numeri, può essere però anche molto adatto per una classe seconda media, come problema in cui si vede concretamente applicato, in modo significativo, il teorema di Pitagora.
E ancora: se ci si limita alla prima richiesta (contare i vertici e gli spigoli e descrivere la forma delle facce) può essere proposto anche a classi prime della scuola secondaria di primo grado o ad alunni della scuola primaria.
Nel caso in cui si chieda ai ragazzi di costruire le piramidi, sono necessari cartoncino, materiale da disegno, forbici e nastro adesivo.
Le tre piramidi e il cubo è tra i Problemi per matematici in erba citati in Diario di bordo (Sofia Sabatti, edizioni mateinitaly, 2020), un testo nel quale alcuni dei problemi presentati in questo sito vengono contestualizzati all’interno di un anno scolastico vissuto da una classe terza della scuola secondaria di primo grado.
Partiamo da un cubo, coloriamone la superficie esterna di rosso e affettiamolo in cubetti, dividendo ogni spigolo in tre parti uguali, come in figura.
Siete d’accordo che i cubetti in totale sono 27 e che, fra questi, ce n’è uno solo (al centro) che non ha facce rosse, ce ne sono 6 con una sola faccia rossa, 12 con due facce rosse, 8 con tre facce rosse, e nessuno con più di tre facce rosse?
Leggi tutto “Affettare un cubo”
Sul quotidiano inglese The Guardian, il 30 dicembre 2019 Alex Bellos ha proposto un gioco matematico (in realtà più di uno), come fa tutti i lunedì nella rubrica chiamata, appunto, Alex Bellos’Monday puzzles.
L’ultimo rompicapo del 2019 si intitolava 2020 in numbers.
Vi proponiamo, liberamente tradotti, due dei quesiti in esso contenuti, che speriamo vi appassionino come hanno appassionato i lettori di The Guardian!
La nonna di Alessandra vuole confezionare una coperta quadrata, con la tecnica del patchwork, ossia unendo tramite cuciture tanti riquadri di stoffe diverse. Ha preparato 25 riquadri di stoffe di 5 colori diversi: 5 riquadri per ciascun colore.
Leggi tutto “Il patchwork quadrato”
Partiamo da un triangolo equilatero e dividiamolo in triangolini, suddividendo ogni lato in un certo numero di parti uguali. In questa prima figura ogni lato è stato diviso in 4 parti uguali e si sono così formati 16 triangolini. La cornice colorata in rosso comprende tutti i triangolini che toccano (anche solo con un vertice) il contorno blu del triangolo di partenza ed è formata da 15 triangolini, mentre all’interno della cornice resta un solo triangolino.
Leggi tutto “Affettare un triangolo”
Quanti sono i diversi rombi con il lato di esattamente 5 quadretti che si possono disegnare sulla carta a quadretti in modo che abbiano tutti i vertici negli incroci della quadrettatura?
Leggi tutto “Rombi sul quaderno a quadretti”
Luca è arrivato in classe l’altro giorno con questi due disegni, e ci ha raccontato che il suo amico Michel, che abita a Parigi e che è venuto a trovarlo nelle vacanze di Natale, gli ha detto che nella sua classe ne hanno costruiti tantissimi per via di un problema di geometria e che poi li hanno appesi alla parete per decorare la classe.
Leggi tutto “Cosa si può fare con cinque quadretti”
Nell’automobile A ci sono due maschi; nell’automobile B ci sono un maschio e una femmina.
Vedo sfrecciare una delle due macchine, ma riesco a vedere solo un componente dell’equipaggio: è un maschio.
Leggi tutto “Le due automobili”
Alice e Vanessa sono sorelle e, come spesso accade, sono sempre molto attente a che una non riceva (da nonni, genitori o adulti in generale) qualche cosa in più dell’altra, che si tratti di attenzioni, di regali o del permesso di fare qualcosa.
Con grande gioia della mamma stanno mettendo in ordine la loro camera e vorrebbero avere una scatola per ciascuna, in cui mettere i propri braccialetti. Si mettono così a cercarle nell’armadietto dove sono riposte tutte le vecchie scatole vuote (di biscotti, di scarpe, di caffè, di cioccolatini…), ma dopo poco nasce un litigio furibondo, perché non ne trovano due uguali.
Leggi tutto “C’è scatola e scatola”
Il poliedro in figura (si chiama ottaedro) è colorato a scacchiera: con questo intendiamo dire che è colorato con due colori, in modo tale che due facce che si toccano lungo uno spigolo hanno colori diversi, proprio come in una scacchiera.
Leggi tutto “Colorare un cubo”
A scuola sono arrivati un gran numero di cubi, da usare come sgabelli per una scuola materna; abbiamo a disposizione due colori, il giallo e il blu, e vogliamo colorare i cubi in modo tale che ogni faccia sia tutta dello stesso colore.
In quanti modi diversi li possiamo colorare?
Nella figura qui sotto sono rappresentati quattro sviluppi di un cubo. Potete immaginare di ritagliare ciascuno sviluppo e ripiegarlo in modo da ottenere un cubo.
Qual è la probabilità che lanciando 2 monete esca almeno una volta testa?
E lanciando 6 monete, qual è la probabilità che esca almeno una volta testa?
Leggi tutto “Almeno una testa!”
Come probabilmente vi sarà già capitato di vedere, a volte all’entrata di un negozio o di un ufficio vengono distribuiti dei numeretti per stabilire in che ordine le persone arrivate saranno servite, in modo da evitare litigi o spiacevoli discussioni.
Leggi tutto “Furbetti in coda”
Tre miei amici abitano a Pisa in via Ulisse Dini, in Lungarno Galileo Galilei e in Lungarno Fibonacci. Mi piacerebbe scrivere loro una cartolina, ma non ricordo i tre numeri civici. Mio fratello li sa, ma è dispettoso e mi dice soltanto che il loro prodotto è 36, un’informazione che certo non mi basta!
Leggi tutto “Tre indirizzi”
Una fabbrica di saponette vuole predisporre delle casse di imballaggio che contengano ciascuna 1000 saponette.
Quali dimensioni dovranno avere queste casse se le saponette hanno (approssimativamente) la forma di un parallelepipedo che misura 3 cm x 6 cm x 9 cm?
Leggi tutto “La fabbrica di saponette”
L’altro giorno Chiara discuteva con due suoi amici; erano presenti anche Alberto, il cugino grande di Chiara, che studia ingegneria all’università, e sua zia, che fa la ricercatrice in matematica. Chiara è ancora alla scuola primaria, ed è una ragazzina sveglia a cui piace giocare con i numeri; prima ha detto ai suoi amici che lei (da vera maghetta) sa che 9x9x9x9x9 è un numero che finisce per 9; e fin qui tutti le han creduto, anche perché lo hanno verificato con la calcolatrice. Ma poi li ha addirittura sfidati in questo modo: Voi ditemi un numero, qualsiasi, anche grandissimo, e io vi so dire qual è l’ultima cifra di 9x9x… moltiplicando tanti 9 quanti ne indica il numero che mi avete detto. E se non è magia questa…!
Leggi tutto “L’ultima cifra”
Lui abita a Roma, Lei a Milano.
Lui ama Lei con profondo trasporto.
Anche Lei ama Lui, ma, ultimamente, in modo decisamente meno lineare e più contraddittorio.
Leggi tutto “I due innamorati”
Il vostro amico Giuliano vi ha invitato alla sua festa di compleanno, con la condizione che dovete venire con un cappello a forma di cono, proprio come quelli dei gelati, ma capovolto, con la punta in su. Giuliano (che è un po’ strano…!) vi ha chiesto che il cappello sia proprio delle stesse misure di quello che avrà lui e, per rendervi il compito più difficile, non vi dice le misure del suo cono-cappello, ma vi dice soltanto che ci sta (giusto giusto) in una scatola a base quadrata, con il lato del quadrato di 20 cm, e l’altezza di 24 cm.
Leggi tutto “I cappelli di Giuliano”
Partiamo da un quadrato, mettendone in evidenza i lati (in figura colorati in rosso); tagliamolo in quadratini, dividendo ogni lato in tre parti uguali; come vediamo dalla figura, dei 9 quadratini ottenuti, uno non ha lati rossi, 4 hanno un solo lato rosso, 4 ne hanno due e nessuno ne ha più di due.
Leggi tutto “Affettare un quadrato”
