Ambito: spazio e figure

Domande e risposte

La domanda posta agli alunni all’inizio del video (come ricavare un rombo da un foglio di carta di forma qualsiasi, avendo a disposizione solo un paio di forbici?) è solo un pretesto per catturare l’attenzione, perché la risposta viene data subito dopo, nel video stesso. Fatta una prima piega (che corrisponderà a una diagonale del rombo) se ne fa un’altra, che le sia perpendicolare (e che corrisponderà all’altra diagonale): a tal fine, la seconda piega dovrà dividere la prima in due parti che si vadano a sovrapporre (anche solo parzialmente).
Per ottenere un rombo, basterà poi – tenendo il foglio piegato in quattro – fare un taglio che congiunga un punto sulla seconda piega con un punto sulla prima piega. Procedendo in questo modo, siamo anche sicuri che le diagonali del quadrilatero che otteniamo si tagliano a metà (per ragioni di pieghe e simmetria).

Come piegare un quadrato da un foglio di forma qualsiasi

La prima vera richiesta che si rivolge agli alunni è quella di fornire le istruzioni per ricavare un quadrato da un foglio di carta, avendo a disposizione solo un paio di forbici; si chiede anche che le istruzioni valgano qualsiasi sia la forma del foglio da cui si parte. Le possibilità sono molteplici e la difficoltà di descrivere passo passo le pieghe che si fanno è innegabile (lo è per noi, immaginiamo quanto possa esserlo per i nostri alunni)! Una sequenza di fotografie può rendere più semplice la spiegazione, ma i ragazzi si scontreranno comunque con la difficoltà di doversi riferire alle pieghe fatte in precedenza, o con il fatto che nelle immagini può risultare difficile capire dove finisce il foglio e dove invece c’è una piega, dove il foglio è semplice e dove invece ci sono sovrapposizioni…

Avendo visto la modalità proposta nel video per costruire un rombo, è probabile che gli alunni partano nello stesso modo, facendo due pieghe perpendicolari. Il taglio finale, però, dovrà essere fatto in modo che i due punti, estremi del taglio (uno sulla prima piega e l’altro sulla seconda), siano equidistanti dal punto d’incontro delle pieghe.

piegare un quadrato: un primo modo

piegare un quadrato: un secondo modo

Chiaramente, quelle illustrate con le precedenti sequenze di immagini sono solo due delle tante possibili soluzioni al problema di costruire un quadrato usando solo le pieghe.

Come ottenere una cornice di rombi simili tra loro

Nel video vengono poi mostrate due “cornici” costruite incollando uno sull’altro dei fogli colorati dai quali sono stati ritagliati dei rombi con il metodo illustrato all’inizio del video. Si chiede agli alunni di descrivere, usando le parole della geometria a loro note, questo fatto: in una delle due cornici, ogni rombo può essere ottenuto ingrandendo o rimpicciolendo un altro dei rombi che la formano; nell’altra cornice ciò non avviene. Anche in questo caso le risposte possono essere molteplici, ma dovranno rifarsi tutte al fatto che i rombi della prima cornice sono simili tra loro, mentre quelli della seconda non lo sono.

L’ultima domanda chiede, nuovamente, che i ragazzi forniscano delle istruzioni: come si può costruire una cornice in cui ogni rombo possa essere ottenuto ingrandendo o rimpicciolendo un altro dei rombi che la formano? Anche in questo caso possono essere corrette sequenze di istruzioni molto diverse, che però conducono tutte alla costruzione di rombi simili tra loro. In particolare i ragazzi potranno focalizzare la propria attenzione sul costruire rombi con gli angoli uguali oppure sul costruire rombi in cui i rapporti tra le diagonali siano costanti.

Un modo per ottenere rombi con gli angoli uguali anche senza usare un goniometro è quello di effettuare dei tagli “paralleli”.

Commenti

Il problema descritto in questo video, per quanto apparentemente sia costruito “solo” attorno alle proprietà del rombo, vuole essere soprattutto una occasione per riflettere sulla forma e sulla similitudine.

Un problema significativo

rombi e quadrati

La prima richiesta del problema (fornire le istruzioni per costruire un quadrato di carta usando solo le pieghe e le forbici) vorrebbe essere un modo per far riflettere gli alunni sul fatto che i quadrati sono particolari rombi, come risulta evidente dalle stesse definizioni di quadrato e di rombo:

• un rombo è un quadrilatero con i lati uguali tra loro;
• un quadrato è un quadrilatero con i lati uguali tra loro e tutti gli angoli retti.

Quindi i quadrati sono rombi particolari: hanno quattro lati uguali tra loro (per questo sono rombi) e godono di un’altra caratteristica che invece non è di tutti i rombi (e infatti esistono dei rombi che non sono quadrati).

Nonostante queste siano le definizioni comunemente condivise (e in genere ben note agli alunni, che le sanno ripetere a memoria), spesso ciò che emerge discutendo con loro rivela convinzioni diverse, che spesso e volentieri nascono dal fatto che i ragazzini non si rifanno tanto alle definizioni (giustamente!), quanto agli esempi che hanno incontrato; e questi esempi, purtroppo, spesso sono pochi e stereotipati.

Una convinzione diffusa è questa: “Un quadrato è un quadrato, un rombo è un rombo: usiamo parole diverse perché sono figure diverse, che non hanno nulla in comune”. In altre parole: per molti alunni, il quadrilatero verde nella figura qui sotto è un rombo, ma non un quadrato (il che è vero) e allo stesso modo quello rosso è un quadrato (vero), ma non un rombo (e questo invece è falso).

Un altro stereotipo diffuso è quello per cui un quadrilatero è un quadrato se ha tutti i lati e gli angoli uguali e inoltre se i lati sono paralleli alle righe della quadrettatura (o ai bordi del foglio) ed è invece un rombo se ha le diagonali che si tagliano a metà e sono parallele alle righe della quadrettatura. Ad esempio: per molti alunni, il quadrilatero rosso della figura qui sotto è un quadrato ( e questo è vero) ma non è un rombo (e questo è falso); mentre quello verde è un rombo (e questo vero) ma non è un quadrato (e questo è falso).

Potrebbe sembrare che, per smontare queste convinzioni, basti far rileggere agli alunni le definizioni di rombo e di quadrato, ma non è così: le misconcezioni formatesi a seguito di pochi e stereotipati esempi sono più forti di qualsiasi definizione letta, riletta o anche imparata a memoria!
La nostra esperienza e la psicologia cognitiva ci insegnano che il modo più efficace per risolvere il problema non è semplicemente richiamare all’attenzione dei ragazzi le definizioni, quanto far emergere queste misconcezioni e creare un bagaglio di esperienze, di esempi e di problemi che diano “concretamente ragione” ai nostri ragionamenti astratti. In questo caso particolare, per esempio, “avere tra le mani” un rombo e un quadrato ritagliati nella carta, poterli rigirare fra le mani e far loro assumere posizioni diverse (rispetto al foglio su cui li si appoggia, rispetto al bordo del tavolo, … ) può aiutare i ragazzi ad abbandonare gli stereotipi che nascono nel vedere sempre e soltanto quadrati e rombi disegnati (e disegnati sempre in un certo modo). Certo, rombi e quadrati ritagliati nella carta non sono veri rombi e veri quadrati (enti astratti e privi di spessore): ma non lo sono nemmeno quadrati e rombi disegnati sulla carta.
Il fatto poi che per ritagliare un quadrato si possano seguire le stesse istruzioni che vanno bene per ritagliare un rombo, aggiungendo semplicemente un vincolo, una limitazione a come deve essere fatto l’ultimo taglio, può aiutare i ragazzi a convincersi del fatto che il quadrato è anche un rombo.

Un altro “antidoto” agli esempi stereotipati è quello di allenare i ragazzi a guardarsi in giro e a scoprire rombi e quadrati in casa o per strada. Allora, gioco forza, gli esempi che avranno non saranno solo con i lati o le diagonali paralleli ai bordi del foglio!

E anche usando la carta a quadretti si possono pensare e costruire attività che aiutino i ragazzi a sganciarsi dagli stereotipi: un esempio è dato, su questo sito, dal problema Rombi sul quaderno a quadretti.

similitudine e forma

Il nodo principale attorno al quale si sviluppa il problema è quello della similitudine.

La seconda domanda, in particolare, chiede agli alunni di descrivere, attraverso le “parole della geometria” che essi conoscono, il fatto che, mentre i rombi della cornice fatta dalla maestra (quella che si vede fotografata qui sopra a sinistra) sembrano essere ricavati ingrandendo o rimpicciolendo uno degli altri rombi della cornice, ciò non avviene per quella fatta dalla professoressa, fotografata qui sopra a destra.

Nelle classi in cui si è già parlato di similitudine, gli alunni potranno semplicemente rispondere che i rombi della cornice della maestra sono tutti simili tra loro, mentre quelli dell’altra cornice non lo sono. Nelle stesse classi, ma anche in quelle nelle quali alla similitudine si è già accennato, si potranno raccogliere anche risposte diverse, ugualmente corrette. Quelle che riportiamo qui sotto sono tutte risposte “originali” di gruppi di ragazzi in classi che hanno svolto questa attività:

• i rombi della cornice della maestra sono tutti uguali tra loro, mentre quelli dell’altra cornice sono tutti diversi;
• i rombi della cornice della maestra hanno tutti la stessa forma, mentre quelli dell’altra cornice hanno forme diverse;
• i rombi della cornice della maestra hanno le misure in scala, gli altri no;
• ogni rombo di quelli della cornice della maestra ha gli angoli della stessa ampiezza di quelli degli altri rombi; nell’altra cornice questo non accade;
• i rombi della cornice della maestra sono proporzionati, gli altri no.

Ogni insegnante troverà il modo, a seconda della classe che avrà di fronte, di riprendere in maniera opportuna ciascuna delle osservazioni dei suoi ragazzi, usandole per ritornare sul (o introdurre il) concetto di similitudine. Osserviamo qui soltanto che la prima risposta, che potremmo etichettare come “sbagliata”, in realtà contiene il germe di un’idea molto interessante. Se andiamo a scavare con i ragazzi che l’hanno data che cosa intendevano con la parola “uguale”, è assai probabile che riconoscano che questo “uguale” non significa “stesse dimensioni” (lo si vede chiaramente che non hanno le stesse dimensioni!), bensì “stessa forma”, che è il tipo di “uguaglianza” che interessa in questo momento per questo problema. E qui si potrebbe aprire una parentesi assai significativa sul concetto di uguaglianza in geometria…

Ci preme qui soffermarci sull’idea di forma che emerge dalle risposte precedenti (e che è un’idea assolutamente corretta): due figure simili hanno la stessa forma; due figure che non sono simili non hanno la stessa forma, anche se siamo abituati a chiamarle con lo stesso nome.
Ritorneremo su questo tema con alcune riflessioni più approfondite nella sezione Quasi un libro, in particolare nelle pagine sull’uguaglianza.
Per il momento ci pare importante sottolineare, però, il fatto che i nomi che abitualmente diamo alle figure non sempre corrispondono a una forma in senso stretto. “Quadrato” è una parola che denota una forma in senso stretto, perché tutti i quadrati sono simili tra loro; lo stesso si può dire della parola “cerchio”, o dell’espressione “triangolo equilatero”.

“Rombo”, invece, non è una parola che denota una forma in senso stretto, perché non tutti i rombi sono simili tra loro, ossia esistono rombi di forme diverse: mutuando gli aggettivi usati dagli alunni per descrivere i rombi della cornice fatta dalla professoressa, potremmo dire che alcuni sono più “snelli e allungati” (come quelli della seconda figura tra quelle qui sotto), altri sono più “cicciottelli e bassotti” (come quelli della figura più in basso) e c’è un’infinita gamma di forme diverse per un rombo!

similitudine e rapporti costanti

Uno degli errori più frequenti che abbiamo letto nelle risposte date alla terza domanda di questo problema (quella in cui si chiede di dare le istruzioni per costruire dei rombi simili tra loro) riflette un errore che ci pare di poter definire “classico”: la confusione tra grandezze che variano mantenendo costanti le differenze tra l’una e l’altra e grandezze che variano mantenendo costanti i rapporti.

L’immagine qui sotto, in particolare, è stata costruita ricalcando le istruzioni date da una alunna: “Fatte le due pieghe perpendicolari sul primo foglio, su una piega misuro un segmento lungo 3 cm e sull’altra uno lungo 5 cm a partire dal vertice comune alle due pieghe. Congiungo gli altri estremi di questi segmenti tra loro e poi taglio. Sul secondo foglio faccio la stessa cosa, ma aggiungendo 1 cm su entrambe le pieghe e quindi prendendo un segmento lungo 4 cm e l’altro lungo 6 cm. Sul terzo foglio faccio la stessa cosa, aggiungendo ancora 1 cm e quindi prendendo un segmento lungo 5 cm e l’altro lungo 7 cm.”

Sia nella cornice costruita dalla alunna in questione, sia in questa immagine che la riproduce, non è così facile vedere “a occhio” che i rombi non sono simili tra loro. Basta però prolungare i lati che dovrebbero essere paralleli per vedere che non lo sono, oppure ripetere il procedimento indicato (aggiungere 1 cm alle semi-diagonali o toglierlo, che è la stessa cosa) per rendere più evidente che i rombi non hanno tutti la stessa forma.

Metacognizione

scovare le ipotesi

La prima vera domanda posta all’interno di questo video-problema richiede che vengano date le istruzioni per costruire un quadrato, avendo a disposizione solo un foglio di carta e un paio di forbici. Si chiede esplicitamente, inoltre, che le istruzioni date valgano per un foglio di carta di forma qualsiasi e, nel video, si mostra un foglio non rettangolare, che sembra strappato malamente.

Alcuni degli alunni delle classi in cui abbiamo proposto questo problema hanno sorvolato sulla precisazione a proposito della forma del foglio (o l’hanno fraintesa) e hanno fornito delle istruzioni ineccepibili se si parte da un foglio di carta rettangolare, ma prive di significato se si parte da un foglio di un’altra forma. Ad esempio, l’istruzione “piega un foglio a metà e poi ancora a metà ma nell’altro senso”, può essere chiara e produrre due pieghe perpendicolari tra loro se si parte da un foglio rettangolare, ma potrebbe non avere senso se si partisse da un foglio di forma diversa.

Perché insistere su questo particolare? Non certo perché sia più facile procurarsi fogli triangolari, circolari o di qualsiasi altra forma piuttosto che rettangolari (anche se in alcuni casi potrebbe essere una necessità)! Ciò che vorremmo far notare ai ragazzi è che le istruzioni che si danno per ottenere un certo risultato dipendono dal punto di partenza: cambiando il punto di partenza possiamo essere costretti a modificare le nostre istruzioni, un po’ come quando cambiando le ipotesi in un teorema siamo costretti a cambiare la dimostrazione per arrivare alla stessa tesi.

Un percorso a ritroso

È molto frequente, nella pratica didattica, che si chieda agli alunni di seguire la procedura descritta in un testo per ottenere un certo risultato: basta aprire un libro scolastico di matematica per trovare tantissimi esempi di questo genere.
Anche se, oggi come oggi, le istruzioni che possiamo trovarci a dover seguire sono spesso accompagnate da illustrazioni, o addirittura contenute in un video-tutorial (il che rende tutto più semplice), non crediamo ci sia nulla di male nell’allenare la capacità di comprendere un testo e di seguire le istruzioni in esso contenute: ci sono tante situazioni in cui questa abilità può tornare veramente utile.

Dal nostro punto di vista, però, può essere ancora più educativo chiedere ai ragazzi di scrivere (o registrare) loro stessi le istruzioni affinché, per esempio, dei loro compagni possano arrivare a un certo risultato.
Innanzitutto abbiamo sperimentato che questo tipo di richiesta (“a ritroso” rispetto a quelle a cui sono più spesso abituati) è più coinvolgente: gli alunni la vedono meno come un dovere cui ottemperare per soddisfare l’insegnante e più come un compito da assumersi per poter dire con soddisfazione “questo l’ho fatto io!”.
Le risposte a domande di questo tipo, inoltre, rivelano all’insegnante molto di più sulla effettiva comprensione da parte degli alunni di ciò di cui si sta parlando. Fintanto che i ragazzi dovranno seguire la procedura per costruire un rombo con le pieghe e le forbici, per esempio, potranno mettere in gioco la propria attenzione, la capacità di comprendere le singole istruzioni, la capacità di tradurre le istruzioni ricevute in azioni da compiere con le proprie mani.  Ma un alunno potrebbe ottenere un bellissimo rombo anche senza aver colto quali sono le caratteristiche essenziali del rombo stesso e in che modo il nostro agire sulla carta produce una figura con quelle caratteristiche. Ci sembra molto improbabile, invece, che un alunno riesca a fornire delle buone istruzioni per costruire un quadrato di carta con le pieghe e le forbici senza aver capito a fondo quali sono le caratteristiche essenziali del quadrato e come ottenere ciascuna di queste caratteristiche attraverso le pieghe della carta.

Scenari possibili

Scrivere (o illustrare ) le istruzioni per costruire un quadrato usando solo le pieghe o per riprodurre una cornice di rombi simili è una attività sfidante per i ragazzini della scuola secondaria di primo grado, ma che potrebbe essere proposta anche a quelli degli ultimi anni della scuola primaria.
Le riflessioni sulla similitudine a cui questo problema conduce possono essere utili sia per introdurre questo tema, sia per ritornarci “da un altro punto di vista” qualora lo si fosse già incontrato in precedenza.

Materiale necessario

Sono necessari un po’ di fogli di carta (meglio se di recupero e meglio se non troppo spessa) e un paio di forbici.
Per aiutare gli alunni a svincolare le proprie istruzioni dalla forma del foglio di partenza, potrebbe essere utile fornire loro dei fogli non rettangolari (un foglio di carta di giornale strappato grossolanamente in pezzi andrebbe benissimo).

Le istruzioni da dare in risposta alla prima e alla terza domanda del problema possono essere più efficaci se corredate da una sequenza di immagini o da un video: potrebbe quindi essere utile fornire agli alunni un dispositivo per fare fotografie o riprese, o lasciare che usino i propri dispositivi.

Problemi collegati

Un altro video-problema che ha a che vedere con i rombi e con le piegature della carta è “Il rombo di carta“. Se qui il rombo è il punto di partenza per parlare di similitudini, là diventa l’occasione per parlare di simmetria.