Una fabbrica di saponette vuole predisporre delle casse di imballaggio che contengano ciascuna 1000 saponette.
Quali dimensioni dovranno avere queste casse se le saponette hanno (approssimativamente) la forma di un parallelepipedo che misura 3 cm x 6 cm x 9 cm?
C’è un’unica risposta possibile o ce ne sono diverse?
Soluzioni
Tra le soluzioni possibili ci sono, ad esempio, una cassa di 30 cm x 60 cm x 90 cm e una cassa di 60 cm x 60 cm x 45 cm.
Commenti
La prima risposta che viene probabilmente in mente (suggerita dal fatto che 1000 = 103 ) è quella di disporre le saponette in 10 strati 10×10, il che richiede una cassa di 30 cm x 60 cm x 90 cm; naturalmente però questa non è l’unica risposta possibile.
Per esempio, si ottiene una forma più vicina a quella cubica con 20 strati, ciascuno dei quali contiene 10 righe di 5 saponette messe in modo tale da poter essere disposte in una cassa di 60 cm x 60 cm x 45 cm.
Questo problema, pur avendo un testo molto breve e non richiedendo, per essere compreso o risolto, che si padroneggino strumenti complessi, è interessante e risponde ad almeno due caratteristiche fra quelle esplicitate nella pagina Un bel problema: infatti, innanzitutto ammette più di una soluzione; e poi è un problema aperto, perché lascia spazio a ulteriori domande e considerazioni.
Un problema aperto
Stiamo qui dando per scontato che le casse abbiano la forma di un parallelepipedo ed è probabile che anche i ragazzi lo diano per scontato. Sarà interessante però farli discutere (soprattutto se qualche ragazzo sollevasse l’ipotesi di casse di forma diversa) ponendo per esempio domande come queste:
- Avete mai visto casse di imballaggio di forma diversa da un parallelepipedo?
- Perché secondo voi sono tanto più comodi i parallelepipedi per il trasporto e l’immagazzinaggio?
Un problema che ammette una pluralità di soluzioni
Questo problema è interessante anche perché fa sperimentare il fatto che in generale, una volta trovata una soluzione, il lavoro non è finito. Dovrei sempre chiedermi: ma questa è l’unica soluzione possibile? E poi: tra tutte le soluzioni, ce n’è una ottimale? La risposta, ovviamente, non è univoca, ma dipende dal contesto e quindi da eventuali esigenze che il problema potrebbe porre.
Appositamente in questo testo non vengono specificate altre condizioni, per ridurre il problema “all’osso” lasciandolo così il più aperto possibile, ma queste si possono aggiungere in un secondo momento e possono diventare occasione di discussione in classe.
Osservando le diverse soluzioni proposte dagli alunni (o al fine di farne emergere altre) ci si può chiedere, ad esempio:
- Ci sono soluzioni che determinano imballaggi più maneggevoli di altri?
- Ci sono soluzioni che determinano imballaggi che rischiano di incurvarsi un po’ troppo sotto il loro stesso peso? Per intenderci: un imballaggio di dimensioni 3 cm x 12 cm x 4500 cm dovrebbe essere fatto di materiale molto rigido, per non incurvarsi. E potrebbe diventare un po’ scomodo da trasportare.
- Ci sono soluzioni che determinano imballaggi più adatti di altri ad essere impilati su dei bancali che misurano 800 mm x 1200 mm? Per intenderci: un imballaggio di dimensioni 6 cm x 300 cm x 90 cm finirebbe con lo sporgere da un bancale di quelle dimensioni, che sono lo standard europeo.
Le domande precedenti mirano a valutare la bontà delle soluzioni in funzione di un dato contesto reale. Ci si potrebbero porre anche domande più legate al contesto geometrico astratto, per esempio:
- Tra le soluzioni trovate, quale determina l’imballaggio più somigliante ad un cubo?
- Ci sono soluzioni che determinano imballaggi la cui forma sia simile a quella della scatola di una singola saponetta? Una sola o più di una?
Sperimentazione e possibili scenari
Questo problema è stato proposto sia in alcune classi prime sia in alcune classi terze della Scuola secondaria di primo grado.
Nelle classi prime bene si aggancia alle riflessioni su multipli e divisori; nelle classi terze a quelle su solidi (in particolare parallelepipedi) equivalenti.
Materiale necessario
Fornire (o far predisporre) agli alunni 1000 scatolette uguali è impensabile, ma potrebbe essere utile che essi avessero un riscontro, con numeri più piccoli, della effettiva possibilità di fornire diverse soluzioni al problema.
Problemi collegati
Tra i Problemi per matematici in erba ce n’è un altro, sempre legato a come alcuni parallelepipedi possano essere inscatolati in un parallelepipedo più grande: Le confezioni della BestEraser.
I due problemi, per quanto simili, offrono spunti di riflessione diversi e complementari.
