Multipli e divisori, pari e dispari

Soluzione

I divisori di 15 sono tutti dispari.
Infatti, i divisori di 15 sono 1, 3, 5, 15.

I divisori di 2000 sono alcuni pari e altri dispari.
Infatti, per esempio, 2 è un divisore  pari di 2000 e 1 è un divisore dispari di 2000.

I multipli di 15 sono alcuni pari e altri dispari.
Infatti, per esempio, 30 è un multiplo pari di 15 e 15 è un multiplo dispari di 15.

I multipli di 2000 sono tutti pari. Infatti, 2000 è un numero pari (2000=2·1000), quindi i suoi multipli sono tutti numeri pari (li possiamo scrivere come come n·2000 = 2·(n·1000), che è un numero pari perché anche n·1000 è un numero naturale.

Se raddoppiamo il numero 15, poi raddoppiamo il risultato, e continuiamo a raddoppiare in questo modo, non otterremo tutti i multipli di 15:

• 45 è un multiplo dispari di 15 che non viene raggiunto con questo procedimento;
• 90 è un multiplo pari di 15 che non viene raggiunto con questo procedimento.

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Un problema significativo

Il problema verte sulla divisibilità, portando l’attenzione in particolare sulle caratteristiche dei numeri pari e dei numeri dispari. La divisibilità è un nodo concettuale fondamentale del curricolo di matematica della scuola del primo ciclo, e non solo, su cui è bene ritornare più e più volte, a spirale, assicurandosi che i concetti relativi siano stati interiorizzati.

Metacognizione

Ci troviamo di fronte a una varietà di domande, che richiedono risposte dalle caratteristiche altrettanto varie: a volte basta elencare tutti i casi possibili, altre volte basta un solo esempio, altre ancora è necessario fornire una spiegazione che vada al di là degli esempi e che ci porti a generalizzare. Proprio affrontando problemi di questo genere, i ragazzi iniziano a farsi un’idea in merito a che cosa è necessario o sufficiente fare per rispondere in modo esaustivo a una domanda.

Strategie risolutive diverse

Per rispondere alla prima domanda

Nelle classi in cui è stato proposto il problema, la prima domanda (se i divisori di 15 sono tutti pari, tutti dispari, o alcuni pari e altri dispari) ha trovato in genere risposta nell’elenco dei divisori di 15, che sono 1, 3, 5, 15, e sono tutti dispari. Questa strategia risolutiva è buona e risulta efficace se il numero in questione (nel nostro caso il 15) è sufficientemente piccolo da rendere facile elencare tutti i suoi divisori e verificare che ciascuno sia dispari.
Ma se il numero fosse molto grande?
Se i ragazzi sono arrivati facilmente alla risposta grazie all’elenco di tutti i divisori di 15, vale la pena chiedere loro di andare oltre, proponendo la stessa domanda per un numero grande. Qualcuno potrebbe comunque aver già fornito spontaneamente una spiegazione valida in generale, anche rispondendo alla domanda originale del problema. Alcuni alunni hanno affermato che i divisori di 15 sono tutti dispari perché 15 è dispari: se avesse un divisore pari, sarebbe esso stesso un numero pari. E questo è vero, perché il divisore pari di 15 si potrebbe scrivere come 2k, e 15 a sua volta sarebbe 2kn, quindi sarebbe pari.

Per rispondere alla seconda domanda

Rispondere alla seconda domanda (se i divisori di 2000 sono tutti pari, tutti dispari o alcuni pari e altri dispari) è più facile, come hanno notato i ragazzi a cui è stato proposto il problema. È più facile perché basta fornire un esempio di un divisore pari e di uno dispari.
Qualcuno potrebbe chiedersi, visto che nella domanda si dice “o alcuni sono pari e altri dispari”, se è sufficiente fornire un esempio di divisore pari e uno di divisore dispari. Dal punto di vista strettamente formale, dire che ce ne sono “alcuni pari e altri dispari” equivale a dire che non è vero che sono tutti pari e non è nemmeno vero che siano tutti dispari e quindi per giustificarlo basta esibire un solo divisore pari e un solo divisore dispari. È altresì vero che nel linguaggio comune la parola “alcuni” indica più di un elemento, quindi possiamo accogliere positivamente il fatto che i ragazzi (magari proprio i ragazzi più attenti alla lettura del testo!) citino più di un esempio, cogliendo l’occasione per discutere poi con loro il significato della parola “alcuni” in questo contesto (e in contesti simili).
I ragazzi potrebbero anche sentire la necessità di dare qualche spiegazione ulteriore, di dire perché succede che i divisori di 2000 siano alcuni pari e altri dispari. Potrebbero dire, per esempio, che tutti i numeri sono divisibili per 1 (che è dispari) e, quindi, qualsiasi numero ha almeno un divisore dispari. Potrebbero anche dire che tutti i numeri pari sono divisibili per 2 (per definizione); e quindi, mettendo insieme le due osservazioni, ottenere che ogni numero pari ha sia divisori pari che dispari. Altri potrebbero ricorrere alla scomposizione in fattori primi di 2000 (2000=2⁴·5³) e mostrare così che possiamo trovare divisori pari (2, 2², 2³, 2·5…) e divisori dispari (5, 5², 5³…).

Per rispondere alla terza domanda

La terza domanda è a priori più difficile perché, al contrario dell’insieme dei divisori, l’insieme dei multipli di un numero è un insieme infinito e quindi non si potrà risolvere la questione semplicemente controllando un elenco. Però, nel caso dei multipli di 15, siccome questi non sono né tutti pari né tutti dispari, basta fornire un esempio di un multiplo pari e di un multiplo dispari di 15.

I ragazzi potrebbero sottolineare che i multipli di 15 sono alternativamente uno pari e uno dispari. Un multiplo di un numero k si ottiene infatti moltiplicando k per un altro numero naturale n. Se k è pari, nk è sempre pari. Se k è dispari, abbiamo che nk è dispari se n è dispari, nk è pari se n è pari.

Gli alunni di prima media spesso non hanno ancora confidenza con l’uso delle lettere al posto dei numeri; è più facile quindi per loro esprimersi dicendo semplicemente che il prodotto di due numeri pari è pari, così come il prodotto di un numero pari per un numero dispari, mentre il prodotto di due numeri dispari è dispari. Una possibile strategia per rendersi conto che questo fatto non riguarda solo alcuni esempi, ma tutti i numeri pari e tutti i numeri dispari, può essere quella di rappresentare ciascun numero attraverso figure formate da tanti quadretti quanti ne indica il numero stesso, disposti su due file:

In questo modo, i numeri pari maggiori di 0 sono rappresentati da rettangoli e i numeri dispari maggiori di 1 da esagoni concavi ottenuti accostando un quadratino ad un rettangolo.

Accostando un qualsiasi numero (pari o dispari) di rettangoli, si ottiene sempre un rettangolo, il che è come dire che il prodotto di un numero (pari o dispari che sia) per un numero pari è sempre pari.

Accostando un numero dispari di esagoni concavi in maniera opportuna, si ottiene ancora un esagono concavo e non un rettangolo, il che è come dire che il prodotto di due numeri dispari è sempre dispari.

Accostando un numero pari di esagoni concavi in maniera opportuna, si ottiene un rettangolo, il che è come dire che il prodotto di un numero pari per un numero dispari è sempre pari.

Per rispondere alla quarta domanda

Molti ragazzi che hanno sperimentato il problema non hanno trovato difficile rispondere  alla quarta domanda (se i multipli di 2000 sono tutti pari, tutti dispari, o alcuni pari e alcuni dispari):

• alcuni gruppi hanno notato che i multipli di 2000 hanno tutti la cifra delle unità uguale a zero, e quindi sono tutti pari;
• altri gruppi hanno notato, come per la risposta alla domanda precedente, che moltiplicando un numero pari per un qualsiasi numero naturale si ottiene sempre un numero pari e hanno quindi detto che, essendo 2000 un numero pari, tutti i suoi multipli sono pari.

Durante la sperimentazione, però, non è mancato chi – giustamente e acutamente – ha notato che “è stato più facile dare una risposta quando (i multipli o i divisori) erano alcuni pari e alcuni dispari”. Questo perché, come abbiamo già sottolineato, per dire che i multipli, o i divisori, sono alcuni pari e altri dispari, basta fornire un esempio di un multiplo, o un divisore, pari e di uno dispari. Per dire invece che, come in questo caso, tutti i multipli sono pari, bisogna fornire una spiegazione che giustifichi la risposta e ci assicuri che è proprio vero, soprattutto se si tratta di multipli (che sono infiniti), oppure, come abbiamo visto sopra, di divisori di un numero molto grande (che possono essere molto numerosi e quindi difficilmente controllabili uno a uno).

Per rispondere alle ultime domande

Se raddoppiamo il numero 15, poi raddoppiamo il risultato, e continuiamo a raddoppiare in questo modo, non otterremo tutti i multipli di 15.

Nella maggior parte dei casi ragazzi rispondono facilmente, osservando, per esempio, che 45 è un multiplo dispari di 15 che non viene raggiunto con questo procedimento e che 90 è un multiplo pari di 15 che non viene raggiunto con questo procedimento. Questa risposta è esaustiva, chiaramente, ma ciò non toglie che qualcuno potrebbe domandarsi come sono fatti i multipli di 15 che otteniamo continuando a raddoppiare: sono del tipo 15·2ⁿ, cioè sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando 15 per una potenza di 2. Non potremo quindi raggiungere, in questo modo, nessun multiplo dispari di 15 (a parte il 15 stesso, numero di partenza), e nemmeno quei multipli pari che siano stati ottenuti moltiplicando il 15 per un numero pari che non sia una potenza di 2.

Sperimentazione e possibili scenari

Il problema Multipli e divisori, pari e dispari è stato sperimentato nell’anno scolastico 2021 / 2022 da alcune classi prime della scuola secondaria di primo grado, nell’ambito del corso MathUp “Problemi di Matematica: un gioco da ragazzi”, come esempio di problema che richiede di applicare il processo dell’argomentare. Si rivela comunque utile anche nelle altre due classi, vista l’importanza di tale processo.

Problema tratto da…

Il problema è ispirato a uno dei quesiti della prova INVALSI somministrata nel 2014 agli studenti della classe terza della scuola secondaria di primo grado.

Problemi collegati

Multipli e divisori è un altro problema che, sempre partendo da considerazioni sui numeri naturali, stimola i ragazzi ad argomentare, in particolare distinguendo situazioni in cui fare un esempio è sufficiente per giustificare una affermazione da altre in cui non lo è.