Un giorno, Bernardo, Giorgio e Riccardo riuscirono a entrare di nascosto nel cortile del castello di Re Infinito. Il loro sguardo fu subito attratto da due scatole ben sigillate, una color rosso rubino e l’altra color verde smeraldo.
Mentre i tre bambini se ne stavano ad ammirare le scatole, una guardia si accorse della loro presenza e, avvicinatasi, chiese: «Sapete che non dovreste essere qui?». «Ci siamo persi…», rispose Bernardo. Il soldato fece finta di credergli e ribattè: «Se saprete risolvere l’enigma delle scatole che state ammirando, vi indicherò la via d’uscita senza denunciare la vostra presenza al Capo delle Guardie: non credo ve la farebbe passare liscia!»
«Quale sarebbe questo enigma?» chiese Giorgio. Il soldato rispose: «La scatola color rosso rubino contiene tutti i numeri pari e quella color verde smeraldo contiene tutti i multipli di tre: quale delle due scatole contiene più numeri?». Riccardo protestò: «Ma questo è un rompicapo che solo un grande scienziato saprebbe risolvere!». «Hai ragione», ribattè la guardia, «ma anche dei bambini possono provarci».
I tre incominciarono a discutere. Bernardo sosteneva che i numeri pari erano di più dei multipli di tre, Giorgio che le due scatole contenevano la stessa quantità di numeri e Riccardo che non si poteva rispondere, perché si trattava in entrambi i casi di una infinità di “oggetti”, che quindi non si potevano contare.
Voi come avreste risposto?
E se ci fosse stata una terza scatola, contenente tutti i numeri naturali, avrebbe contenuto più o meno numeri della scatola rossa, quella contenente tutti i numeri pari? E avrebbe contenuto più o meno numeri della scatola verde, quella con i multipli di tre? Perché?
Soluzione
Associando a ogni numero naturale n il numero 2n, si individua una corrispondenza biunivoca tra l’insieme di tutti i numeri naturali e l’insieme dei soli naturali pari; allo stesso modo, associando a ogni numero naturale n il numero 3n, si individua una corrispondenza biunivoca tra l’insieme di tutti i numeri naturali e l’insieme dei soli naturali multipli di 3. Quindi, sia i numeri pari sia i multipli di 3 sono tanti quanti i numeri naturali.
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Un problema significativo
L’infinito
Senza alcun dubbio il tema dell’infinito è un tema complicato: ci sono buoni motivi per volerlo affrontare con gli alunni (perché è sconcertante e affascinante, genera stupore e quindi coinvolge) e altrettanti buoni motivi per non volerlo fare (perché è un tema particolarmente delicato, su cui è facile farsi delle idee sbagliate).
Il problema Nel castello del Re Infinito ci dà l’occasione di parlare con i nostri alunni di come i matematici trattano l’infinito, senza dire cose non vere e senza illuderli che questo sia un argomento facile, sul quale già alla scuola primaria o alla scuola secondaria si possa imparare tutto quello che c’è da sapere in merito.
A convincere i bambini dell’infinità dei numeri naturali può essere, fin da quando sono piccoli, lo stratagemma del “più uno”, descritto da Gianni Rodari in una delle sue poesie ( apparsa inizialmente sulla rivista La Via Migliore e successivamente pubblicata nel libro Il pianeta Accazeta):
C’era una volta un tale
che voleva trovare
il numero più grande del mondo.
Comincia a contare
e mai si stanca:
gli viene la barba grigia,
gli viene la barba bianca,
ma lui conta, conta sempre
milioni di milioni
di miliardi di miliardi
di strabilioni
di meraviglioni
di meravigliardi…
In punto di morte scrisse un numero
lungo dalla Terra a Nettuno.
Ma un bimbo gridò: «Più uno!».
E il grande calcolatore
ammise, un poco triste,
che il numero più grande
del mondo non esiste!
Lo stesso meccanismo è illustrato anche da Cesare Zavattini in Parliamo tanto di me (1931). Il contesto è una fantomatica gara mondiale di matematica, in cui sarebbe risultato vincitore chi avesse enunciato il numero più grande rispetto a quelli enunciati da tutti gli altri illustri presenti. La voce narrante è quella del figlio di uno dei matematici favoriti:
Mio padre guardò intorno con superiorità… e cominciò: «Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi…». La folla delirava: «Evviva, evviva…». «… di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi…». Il presidente Must, pallidissimo, mormorava a mio padre, tirandolo per le falde della palandrana: «Basta, basta, vi farà male». Mio padre seguitava fieramente: «… di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi!». A poco a poco la sua voce si smorzò, l’ultimo fievole «di miliardi» gli uscì dalle labbra come un sospiro, indi si abbattè sfinito sulla sedia. Il principe Ottone gli si avvicinò, e stava per appuntargli la medaglia sul petto, quando Gianni Binacchi urlò «Più uno!». La folla precipitatasi nell’emiciclo portò in trionfo Gianni Binacchi. Quando tornammo a casa, mia madre ci aspettava ansiosa sulla porta. Pioveva. Il babbo, appena sceso dalla diligenza, le si gettò tra le braccia singhiozzando: «Se avessi detto più due avrei vinto io».
Il “più uno” di questi racconti corrisponde al passaggio da un numero naturale al suo successivo. Questa sembra (e in parte è) una maniera molto intuitiva e accessibile anche ai bambini, per rendersi conto dell’infinità dei numeri naturali: ma non è detto che lo sia per davvero, e certo non in modo automatico. Un ragazzino potrebbe anche rendersi conto del fatto che con questo gioco del “più uno” si può sempre vincere in una gara a chi sa dire qual è il numero più grande, ma non rendersi conto del fatto che questo sostanzialmente equivale ad aver dimostrato che i numeri sono infiniti. Ed è anche naturale che ci sia questa sfasatura perché il ragionamento che ci sta dietro non è semplice. Si tratta essenzialmente di una dimostrazione per assurdo: se per assurdo ipotizziamo che i numeri siano finiti, potremmo individuare un numero N più grande di tutti gli altri; ma allora N+1 è un altro numero che è ancora più grande; e quindi è sbagliato ipotizzare che i numeri siano finiti.
Uscendo dal piano intuitivo, la maniera in cui si comporta questo passaggio al successivo (che caratterizza la struttura stessa dell’insieme dei numeri naturali) è stata formalizzata da Giuseppe Peano (1858-1932) nei seguenti 5 assiomi che si possono vedere come le “regole del gioco” che dettano il comportamento dei numeri naturali:
- lo zero è un numero naturale;
- ogni volta che da un numero naturale si passa al suo successivo, si ottiene ancora un numero naturale;
- i successivi di due numeri diversi sono anch’essi diversi;
- lo zero non è il successivo di alcun numero;
- se un insieme di numeri naturali contiene lo zero ed il successivo di ogni suo elemento, allora esso coincide con l’intero insieme dei numeri naturali.
Questi, che sono gli assiomi dell’aritmetica, ci assicurano che il bimbo della filastrocca di Rodari dicendo “più uno” ha invocato (pur senza chiamarlo per nome) un numero naturale diverso da quello che il grande calcolatore aveva scritto in punto di morte (e che pensava essere il più grande del mondo) e anche diverso da tutti i numeri che lo precedono. E la stessa cosa vale per Gianni Binacchi.
Non è certo il caso di presentare agli alunni della scuola del primo ciclo l’assiomatica di Peano. Ci sembra però importante avere ben chiaro, come insegnanti, che queste regole, con le quali i matematici hanno descritto i numeri naturali, fanno davvero sì che la continua possibilità di dire “più uno” ci assicuri che i numeri naturali sono infiniti. Se i nostri studenti ingaggiassero spontaneamente una gara come quella descritta da Zavattini, non interrompiamoli troppo presto: è probabile che a qualcuno venga un’idea simile a quella di Gianni Binacchi e allora tutti quanti, come “il grande calcolatore” della filastrocca di Rodari, dovranno ammettere che non esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri e che i numeri naturali sono infiniti.
È possibile che sulla infinità dei multipli di 3 gli alunni abbiano qualche dubbio: anche nelle classi in cui questo problema è stato sperimentato, infatti, c’è stato chi – in partenza – ha associato l’idea di “multiplo di 3” all’idea di “numero della tabellina del 3”, immaginando così che il più grande multiplo di 3 esista e sia il 30. Riflettendo sul concetto di multiplo, però, gli alunni arrivano ben presto ad accorgersi che anche in questo caso si può andare avanti all’infinito, proprio come nel caso dei numeri naturali. Invece di dire “più uno” basterà infatti dire “più tre” così come, nel caso dei numeri pari, basterà dire “più due”.
la corrispondenza biunivoca
Insieme al tema dell’infinito questo problema permette di avvicinare un altro concetto, quello di corrispondenza biunivoca, che emerge in maniera molto naturale quando si voglia confrontare la numerosità di due insiemi.
Siamo talmente abituati a pensare ai numeri naturali come mezzo per contare gli elementi di un insieme che di questa corrispondenza biunivoca, quando gli insiemi sono finiti e piccoli, non ci accorgiamo nemmeno. Nell’immagine qui sopra, ad esempio, pensiamo di poter dire che i fiori di tarassaco a sinistra sono tanti quante le punte della rosa dei venti a destra, senza aver bisogno di ricorrere a una corrispondenza biunivoca (come quella indicata dalle frecce bianche in figura). Infatti ci accorgiamo immediatamente che i fiori sono 8 e che la rosa dei venti ha 8 punte. Ma quando contiamo i fiori (o le punte della stella), la cantilena “uno, due, tre, …, sei, sette, otto” che pronunciamo o pensiamo, passando col dito o con lo sguardo sui fiori (o sulle punte della stella), non è altro che l’esplicitazione di una corrispondenza biunivoca tra i fiori (o tra le punte della stella) e l’insieme dei numeri da 1 a 8.
In altri cas,i il ricorso all’esistenza di una corrispondenza biunivoca per dire che due insiemi hanno la stessa quantità di elementi viene spontaneo. Nella fotografia qui sopra, per esempio, non ci verrebbe in mente di contare i biscotti alla vaniglia e quelli al cacao per dire che gli uni sono tanti quanti gli altri: lo sappiamo per via del fatto che ciascun biscotto chiaro è unito a uno di quelli scuri mediante uno strato di crema al latte!
Per due insiemi infiniti vale lo stesso principio: gli elementi dell’uno sono tanti quanti gli elementi dell’altro se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi.
Una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi di cui si parla in Nel castello di Re Infinito può essere trovata anche dagli alunni della scuola del primo ciclo, ragionando sulla definizione di numero pari e di multiplo:
| numeri naturali | numeri pari | multipli di 3 |
| 0 | 0 = 0 · 2 | 0 = 0 · 3 |
| 1 | 2 = 1 · 2 | 3 = 1 · 3 |
| 2 | 4 = 2 · 2 | 6 = 2 · 3 |
| 3 | 6 = 3 · 2 | 9 = 3 · 3 |
| 4 | 8 = 4 · 2 | 12 = 4 · 3 |
| … | … | … |
La tabella qui sopra mette in luce la corrispondenza biunivoca cercata: basta associare ad ogni numero naturale n il numero pari che si ottiene moltiplicando n per 2 e il multiplo di 3 che si ottiene moltiplicando n per 3.
Un problema aperto
Le domande che sono sorte nelle classi in cui abbiamo proposto questo problema sono tante: se all’infinito si aggiunge “più uno”, cosa si ottiene? si può fare infinito più infinito? e cosa si ottiene? tutti gli infiniti sono uguali o esistono degli infiniti più grandi degli altri?
Non in tutti i livelli scolastici in cui si può proporre il problema Nel castello di Re Infinito ha senso pensare di rispondere a queste domande. Ove non fosse possibile, varrebbe la pena ricordare una frase attribuita proprio a Cantor, il matematico che ha dato vita al confronto tra le cardinalità degli insiemi infiniti:
In matematica l’arte di porsi domande è più preziosa di quella di trovare risposte.
Varrebbe la pena, cioè, sottolineare ai ragazzi il fatto che le loro domande sono opportune e profonde, anche se in alcuni casi dovranno accontentarsi di sentirsi dire che non hanno ancora tutti gli strumenti necessari per capire fino in fondo tutte le risposte che via via l’umanità ha costruito.
Un problema di matematica con effetto sorpresa
Il fatto che i numeri pari siano tanti quanti i multipli di 3 e tanti quanti i numeri naturali costituisce spesso una sorpresa, per i bambini della scuola primaria ma anche per i ragazzi della scuola secondaria (e a volte anche per qualche studente più maturo).
Se ci si limita a considerare, come nell’immagine qui sopra, i numeri naturali più piccoli di 25, essi sono sicuramente di più dei numeri pari più piccoli di 25, i quali sono a loro volta di più dei multipli di 3 minori di 25. Questo fatto continua a valere anche considerando sottoinsiemi di numeri naturali più ampi di questo (ad esempio prendendo tutti i numeri più piccoli di 250, o di 2500, o di 25 miliardi…), purché si abbia a che fare con sottoinsiemi finiti.
Finché si rimane tra gli insiemi finiti, si può sempre affermare che la parte è più piccola del tutto: un sottoinsieme proprio di un insieme finito contiene meno elementi dell’insieme stesso. Ma questa affermazione (per quanto ci appaia molto ovvia e molto intuitiva) non si può estendere agli insiemi infiniti, perché ogni insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria. Anzi, questa è una proprietà caratterizzante gli insiemi infiniti: solo un insieme infinito può essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
I numeri pari sono tanti quanti i numeri naturali, nonostante non li esauriscano: esistono dei numeri naturali che non sono pari (i numeri dispari) eppure i numeri naturali non sono di più dei numeri pari. Analogamente esistono dei numeri naturali che non sono multipli di 3, ma questi ultimi sono tanti quanti tutti i numeri naturali.
Osservare questi fatti fornisce sicuramente degli argomenti per rispondere (anche se magari non completamente) alle eventuali domande dei ragazzi, a proposito di quanto fa infinito più 1, oppure infinito più infinito.
Una maniera suggestiva per rispondere a queste domande è il cosiddetto albergo di Hilbert. Si tratta di un albergo con infinite stanze nel quale, anche nell’eventualità del “tutto esaurito”, si può sempre trovar posto per un nuovo cliente (o anche per 100 nuovi clienti, o anche per infiniti nuovi clienti…). Nel video qui sotto incorporato (in inglese, ma ben sottotitolato anche in italiano) Jeff Dekofsky illustra in modo leggero la situazione e già nei primi due minuti dà un’idea di come sia possibile che infinito più 1 sia uguale a infinto e anche che infinito più infinito sia uguale a infinito.
L’ immagine dell’albergo di Hilbert è stata utilizzata da molti autori per parlare di infinito, ma è bene prestare attenzione: il fatto che usino la stessa metafora non significa che arrivino tutti allo stesso livello di profondità e di difficoltà. Tra le opere che ci sembrano ben riuscite ma certo non adatte ai ragazzini della scuola del primo ciclo, ricordiamo lo spettacolo teatrale di Luca Ronconi Infinities (su testi di John Barrow) e il racconto di Stanislaw Lem L’hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo (in Racconti matematici, a cura di Claudio Bartocci, Einaudi).
Sperimentazione e possibili scenari
Questo problema è tra quelli proposti nella sperimentazione legata al corso MathUp rivolto a insegnanti della prima classe della Scuola secondaria di primo grado nell’anno scolastico 2021 / 2022. Un problema del tutto simile (dal quale abbiamo preso ispirazione per scrivere questo, senza nemmeno cambiargli il titolo) è stato sperimentato con successo anche nella scuola primaria.
Ai ragazzi del primo biennio della scuola superiore può essere utile porre direttamente il quesito matematico contenuto nel problema Nel castello di Re Infinito, senza accompagnarlo da tutto il corredo narrativo: “Quale insieme è più numeroso tra quello dei numeri pari, quello dei multipli di 3 e quello dei numeri naturali?”.
Problema tratto da…
Questo problema è liberamente tratto dal libro La ciurma del pirata Newton. Trenta giochi per ragazze e ragazzi svegli, a cura di Paola Cereda e Giovanna Dimitolo, Mimesis Edizioni, 2009.
