Giovanna, come compito per casa, deve trovare il volume di un prisma che ha questa forma:
Sa che la base è una stella regolare a cinque punte i cui lati misurano tutti 2 cm e sa che il prisma è alto 5 cm. Però non ha la più pallida idea di come calcolare l’area della stella.
Chiede aiuto al fratello maggiore, che fa un po’ di calcoli e le dice: “L’area della stella è 8,5 cm2; il volume del prisma è quindi 42,5 cm3.” Giovanna, tutta contenta, scrive i risultati sul suo quaderno, senza chiedere al fratello come ha fatto.
Andando avanti con i compiti, si accorge di dover risolvere anche questo problema: “Il prisma dell’esercizio precedente viene ingrandito finché il lato della stella misura 20 cm; quanto misura l’altezza del prisma ingrandito? quanto misura l’area della stella? quanto misura il volume del prisma?”.
Giovanna chiede di nuovo aiuto al fratello, che però, stizzito, le risponde di arrangiarsi e le dice che può benissimo ricavare i risultati a partire da quelli dell’esercizio che lui le ha svolto prima, anche senza sapere come si fa a calcolare l’area di una stella.
Come può fare Giovanna?
Soluzione
I due prismi sono simili, con rapporto di similitudine 10:1.
Quindi:
- l’altezza del prisma ingrandito misura 5 cm x 10 = 50 cm;
- l’area della stella misura 8,5 cm2 x 100 = 850 cm2;
- il volume del prisma è 42,5 cm3 x 1000 = 42500 cm3.
Commenti
Un problema significativo
Il problema ha a che fare col fatto che, in una similitudine di rapporto k, le misure lineari variano in rapporto k, le misure di area in rapporto k2 e le misure di volume in rapporto k3.
Di quanto questo sia un nodo cruciale della matematica, relativo alla comprensione delle similitudini, ma anche del concetto di area e di volume, abbiamo già discusso nei commenti ai problemi I viaggi di Gulliver e I flaconi di shampoo, ai quali rimandiamo.
Strategie risolutive diverse
Le strategie attraverso le quali gli alunni possono trovare le risposte alle questioni sollevate da questo problema sono molteplici.
Da una unità di misura all’altra
La più breve che abbiamo visto usare da ragazzi di terza media si basa, di fatto, su una “semplice” sostituzione delle unità di misura; i lati della base del prisma originale misurano 2 cm, mentre quelli del prisma ingrandito misurano 20 cm, ossia 2 dm: cambiando l’unità di misura, il numero che rappresenta la misura del lato è lo stesso di prima, e questo avviene anche per le altre misure. Quindi:
- poiché l’altezza del prisma originale misura 5 cm, l’altezza del prisma ingrandito misura 5 dm;
- poiché l’area della base del prisma originale misura 8,5 cm2 , l’rea della base del prisma ingrandito misura 8,5 dm2;
- poiché il volume del prisma originale è 42,5 cm3, il volume del prisma ingrandito misura 42,5 dm3.
Sotto questa strategia sta un fatto che sarà importante esplicitare da parte dell’insegnante (a meno che gli studenti non ne siano già consapevoli): un cambio di unità di misura di questo tipo corrisponde proprio a una similitudine, e precisamente a una similitudine con un fattore di scala uguale al rapporto fra le due unità di misura fra cui si sta facendo il cambio). Trovare naturale questo passaggio (dai cm ai dm e di conseguenza anche dai cm2 ai dm2 e dai cm3 ai dm3) significa di fatto riconoscere che, in una similitudine, l’area e il volume variano, rispettivamente, come il quadrato e il cubo del rapporto di similitudine, ma non si può dare per scontato che questo riconoscimento sia consapevole e interiorizzato al punto da manifestarsi in altre analoghe situazioni. Occorre inoltre restare in guardia per evitare che (come spesso accade quando si sperimentano strategie comode ed efficaci) questo passaggio di unità di misura diventi un automatismo privo di significato.
il tempo della confidenza
Aver detto ai propri alunni che il rapporto tra i volumi di due oggetti simili è uguale al cubo del loro rapporto di similitudine non basta per fare sì che essi abbiano acquisito confidenza con questo fatto al punto da usarlo per risolvere questo problema. Può accadere, però, che essi abbiano invece già interiorizzato il fatto che il rapporto tra le aree di figure piane simili è uguale al quadrato del loro rapporto di similitudine (magari anche perché lo si è già utilizzato per risolvere altri problemi “memorabili”).
In questo caso i ragazzi potranno:
- calcolare l’altezza del prisma ingrandito sfruttando il fatto che il rapporto di similitudine è 10:1 (e quindi l’altezza del prisma ingrandito misura 5 cm x 10 = 50 cm);
- calcolare l’area della stella sfruttando il fatto che il rapporto tra le aree è 100:1 (e quindi l’area della stella misura 8,5 cm2 x 100 = 850 cm2);
- calcolare il volume del prisma ingrandito come prodotto tra l’area della sua base e la sua altezza (e quindi 850 cm2 x 50 cm = 42500 cm3).
Questa strategia, che a prima vista potrebbe sembrare “deludente” rispetto alle aspettative di un insegnante che ha già spiegato ai propri alunni il legame tra i volumi di due oggetti simili, mette in luce una comprensione profonda dei prismi e di come sia possibile calcolare il loro volume. Chi mette in atto questa strategia, infatti, ha capito che per questo prisma (della cui base gli alunni della scuola media non saprebbero calcolare l’area) vale la stessa cosa che vale per i prismi a base quadrata, triangolare o esagonale che si trovano sui libri di testo: la misura del volume si può ottenere come prodotto della misura dell’area di base per la misura della lunghezza dell’altezza.
Un problema difficile
La difficoltà di questo problema non sta certo nei calcoli che richiede (con un opportuno cambio di unità di misura, di calcoli non ce ne sono proprio!) né, a nostro parere, nella comprensione del testo (che, volendo, può ulteriormente essere semplificato inserendo i dati in una tabella, o accompagnando la figura del prisma originale con quella del prisma ingrandito).
Per quello che abbiamo potuto vedere nelle classi in cui è stato proposto questo problema (ma che viene confermato anche proponendolo a persone adulte, che non abbiano quotidianamente a che vedere con il volume di oggetti simili), la difficoltà di Un prisma stellare può essere riconducibile a due questioni, alle quali qui solo accenniamo.
Vediamo in 2D o in 3D?
C’è una difficoltà “percettiva”, se così la possiamo chiamare. Il senso della vista ci mostra la realtà in due dimensioni, soprattutto se si tratta di una realtà statica (quando gli oggetti si muovono davanti ai nostri occhi, otteniamo molte più informazioni sulla loro tridimensionalità e sulla tridimensionalità dello spazio in cui sono immersi rispetto a quando sono fermi).
Per quanto possiamo comprendere che l’immagine qui sopra riportata rappresenta, in prospettiva, una realtà tridimensionale, ciò che immediatamente vediamo sono due figure piane e ciò che immediatamente siamo portati a confrontare sono le loro aree. Le due figure sono simili con rapporto di similitudine 1:10 e ciò che siamo portati a valutare per confrontarle sono le loro aree, che sono in rapporto 1:100.
Per rendere consapevoli i ragazzi di questa difficoltà, e quindi aiutarli a superarla, possiamo farli ragionare non solo su immagini bidimensionali degli oggetti di cui parliamo (o non solo su oggetti anche tridimensionali, ma fermi immobili sulla cattedra disponibili solamente per essere guardati dal banco), bensì anche su oggetti che essi possano tenere in mano, guardare da più punti di vista, soppesare…
lo stereotipo della proporzionalità diretta
Un altro motivo per cui questo problema può diventare difficile è la “inerzia” mentale (dei nostri alunni, ma anche di noi insegnanti).
In seconda media spesso si lavora così tanto sulla proporzionalità diretta e sulla proporzionalità inversa (e così poco su altri tipi di relazioni) che è facile che i ragazzi (anche se nessuno gliel’ha mai detto in questi termini) pensino che l’unica funzione crescente sia y=kx (con k>0) e l’unica funzione decrescente sia y=k/x (con k>0). E allora, siccome è chiaro che il volume del prisma cresce all’aumentare dello spigolo della sua base, gli alunni si immaginano che esso cresca linearmente con lo spigolo della sua base, perché la crescita lineare è l’unico tipo di crescita con la quale hanno mai avuto a che fare.
Questo tipo di difficoltà può essere superato presentando agli alunni tanti tipi diversi di relazioni: aree di figure simili e volumi di oggetti simili sono due occasioni preziosissime per uscire dallo stereotipo per cui tutte le grandezze per le quali all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra sono direttamente proporzionali.
Scenari possibili
Il problema è stato ideato per delle classi terze della scuola secondaria di primo grado; ciò non toglie che la questione del volume di oggetti simili sia una questione su cui possa essere significativo riflettere già dalla scuola primaria e sulla quale sia significativo tornare anche nella scuola secondaria di secondo grado.
Problema tratto da…
Un prisma stellare è tra i Problemi per matematici in erba citati in Diario di bordo (Sofia Sabatti, edizioni mateinitaly, 2020), un testo nel quale alcuni dei problemi presentati in questo sito vengono contestualizzati all’interno di un anno scolastico vissuto da una classe terza della scuola secondaria di primo grado.
Problemi collegati
Sulla similitudine tra oggetti tridimensionali e sul legame tra il loro volume e il loro rapporto di similitudine, in questo sito sono pubblicati altri due problemi: I viaggi di Gulliver e I flaconi di shampoo.
Molto interessane, ricco di spunti per creare compiti significativi.
È proprio così: attorno al nodo della similitudine tra oggetti tridimensionali è possibile (ma anche bello e opportuno) creare tanti problemi significativi! Grazie, Rosaria!