Un taglio a effetto

Soluzione

Per condividere con gli alunni il video con la soluzione del problema, fornire il seguente link:
https://youtu.be/RwQ3uHWNmS8

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“Un taglio ad effetto” è un bel problema senza numeri: niente dati, niente operazioni, niente diagrammi di flusso… L’unica cosa che serve per risolverlo è  una buona dose di immaginazione.

Un problema significativo

Per quanto il problema sia ambientato in una cucina e sia presentato attraverso un linguaggio semplice, esso tratta di argomenti di tutto rispetto: il cilindro, le sezioni piane di un solido, la circonferenza, l’ellisse, le linee rette, le linee curve. Addirittura spunterà una sinusoide: naturalmente, il problema non richiede che i ragazzi già la conoscano, né si pone l’obiettivo di farla loro conoscere; possiamo però cominciare a farla osservare, il che faciliterà loro la vita quando più avanti la incontreranno.

Un problema memorabile

Difficilmente ci si può dimenticare di un problema di questo tipo, un po’ per come è presentato (attraverso oggetti concreti molto familiari ai ragazzi e di fronte ai quali di solito non pensano alla matematica), un po’ per il fatto che la soluzione è davvero sorprendente.

Soprattutto diventa impossibile dimenticarsene, come spesso accade, se si è davvero passato un po’ di tempo a cercare di risolverlo, a immaginarsi a cosa potrebbe assomigliare il foglio arrotolato attorno al würstel, tagliato e srotolato.

Non c’è un motivo specifico “in sé” che renda importante sapere (soprattutto per ragazzini della scuola media) come appare il foglio quando lo srotoliamo. In altre parole, il motivo per cui presentiamo il problema non è tanto il risultato, ma tutta una serie di “piccole cose” che possono derivare dal tentativo di immaginare la soluzione e che riguardano il modo di imparare la matematica, attraverso un processo di ricerca.  È di queste cose che parleremo nel prossimo paragrafo.

Metacognizione

Affrontare problemi come questo può aiutare i ragazzi a farsi un’idea della matematica e del come impararla un po’ più corrispondente al vero di quanto non lo siano stereotipi molto diffusi:

• la matematica è certamente una materia astratta, fatta di idee più che di oggetti concreti; ma si tratta di idee piene di significato, che hanno a che fare con il mondo reale e che ci permettono di conoscerlo e descriverlo;
• sia la realtà che la matematica sono piene di fatti e di situazioni sorprendenti che meritano di essere osservati, studiati, compresi… molto più di quanto non sembri da certi libri di scuola;
• se la realtà e la matematica non ci sorprendono, può essere colpa del fatto che non ci poniamo domande significative al loro riguardo; a volte porsi delle buone domande è molto più interessante ed entusiasmante che conoscere le risposte;
• per imparare la matematica non basta imparare e applicare regole ferree: occorre anche allenare la nostra immaginazione.

Un problema aperto

Perché il taglio va “su e giù”?

Il secondo video, quello in cui viene presentata la risposta al quesito posto dal problema, termina con una domanda: una volta scoperto com’è fatto il taglio, riusciamo a capire perché è fatto proprio così?
Potrebbe essere questa una delle prime direzioni verso le quali puntare con i ragazzi, sia nel caso in cui qualcuno fosse riuscito ad immaginare il giusto “profilo” del taglio, sia nel caso in cui tutti avessero pensato ad un “profilo” sbagliato, o non fossero riusciti ad immaginare alcunché.

Due osservazioni possono essere alla portata anche dei ragazzini della scuola secondaria di primo grado, o degli ultimi anni della scuola primaria.

• Quando il coltello (e quindi il taglio) è perpendicolare all’asse del würstel, è anche parallelo al bordo del foglio; quindi tutti i punti del taglio sono equidistanti dal bordo del foglio, che è rettilineo, e quindi anch’essi stanno su una retta (parallela al bordo del foglio).
  Quando invece il coltello (e quindi il taglio) non è perpendicolare all’asse del würstel, non è nemmeno parallelo al bordo del foglio; quindi i punti del taglio sono alcuni più vicini ed alcuni più lontani dal bordo del foglio.
  Inoltre siccome il foglio gira attorno al würstel, se immaginiamo un punto muoversi lungo il taglio lo vedremo prima allontanarsi dal bordo e poi avvicinarsi di nuovo.
• Il foglio non compie un unico giro attorno al würstel: essendo arrotolato attorno al würstel, finito un giro ne fa un altro, e poi un altro, e un altro ancora… Per questo motivo, il punto che si muove lungo il taglio e che abbiamo visto prima allontanarsi e poi avvicinarsi al bordo del foglio ripete questo movimento più e più volte, andando “su e giù” sempre nello stesso modo.

Fatte queste osservazioni, un buon modo per verificare se tutti le hanno interiorizzate può essere quello di chiedere ai ragazzini di disegnare come immaginano il profilo del taglio sul foglio srotolato quando il coltello fosse più o meno inclinato rispetto all’asse del würstel: che cosa rimane uguale a prima? che cosa cambia? come cambia?

Dall’oggetto concreto all’ente matematico

Più sono grandi i ragazzi ai quali ci rivolgiamo, più avrà senso usare i termini specifici del linguaggio della matematica per descrivere i “personaggi” di questo problema:  ecco allora che il würstel diventerà un cilindro, il coltello una sezione piana del cilindro, la “circonferenza allungata” una ellisse, il “profilo” del taglio sul foglio srotolato una sinusoide.

Per i ragazzi della scuola secondaria di secondo grado potrebbe essere un problema interessante quello di determinare la funzione il cui grafico corrisponda al “profilo” del taglio. A chi conosce già un po’ di trigonometria, verranno sicuramente in mente le funzioni seno e coseno, ma… si tratta solo di una somiglianza, o la curva che vogliamo descrivere è proprio una sinusoide? ascissa e ordinata dei punti di questa curva, a cosa dovranno corrispondere sul cilindro? quale funzione lega  l’ascissa e l’ordinata di questi punti? da quali parametri potrebbe dipendere il grafico della funzione trovata?

Cliccando sull’immagine qui sotto, si accederà ad una risorsa condivisa sul portale GeoGebra in cui abbiamo cercato di evidenziare le corrispondenze descritte poco sopra.

e se al posto del würstel mettessimo un altro oggetto?

Una volta compreso perché il foglio tagliato e srotolato mostra un certo “profilo”, avrà senso chiedere (anche a ragazzini più piccoli):

• e se invece di arrotolare il foglio attorno a un würstel lo arrotolassimo attorno ad un prisma a base rettangolare (ad esempio, una scatola di torrone), quale “profilo” otterremmo con un taglio perpendicolare all’asse del torrone? e con un taglio non perpendicolare all’asse?
• e se il foglio lo arrotolassimo attorno a una scatola di Toblerone (un prisma a base triangolare) quali “profili” otterremmo nei due casi?

Grazie a domande come queste, l’insegnante potrà capire se gli alunni si sono impadroniti della situazione, se hanno interiorizzato le riflessioni condivise sul perché il profilo del taglio è fatto in un certo modo.
Dal canto loro, i ragazzi potrebbero fare esperienza di una realtà fondamentale: se immaginare la curva nella situazione proposta dal problema sarà stato difficile (o, per qualcuno, impossibile), l’avere analizzato la situazione con occhi da matematici in erba permetterà loro di immaginare adesso situazioni diverse, con maggior consapevolezza e con maggior probabilità di successo.
E, grazie alle stesse domande, gli insegnanti potrebbero capire quanto gli alunni hanno interiorizzato

Un problema di matematica con effetto sorpresa

L’effetto sorpresa di questo problema è quasi garantito e, di fatto, già nei paragrafi precedenti ne abbiamo parlato.

Sotto la supervisione di un adulto sarebbe anche bene che gli alunni potessero sperimentare l’emozione di “fare una sorpresa” a qualcun altro: ai compagni di scuola di altre classi o, a casa, ai fratelli e agli ignari genitori.

L’emozione di “sapere come va a finire” una storia che gli altri non conoscono è una emozione positiva, che infonde sicurezza in chi la prova e che troppo raramente alcuni alunni riescono a provare: questa potrebbe essere l’occasione giusta!

Scenari possibili

I bambini della scuola primaria possono comprendere la richiesta del problema, possono usare la propria immaginazione e poi confrontare il prodotto della propria fantasia con il foglio effettivamente tagliato. Se saranno sinceri, difficilmente ci diranno di aver immaginato correttamente l’effetto del taglio sul foglio di carta, ma non per questo il problema sarà stato per loro poco significativo, anzi! Tutto ciò che si diceva prima a proposito dell’effetto sorpresa sarà sicuramente valido.

I ragazzi della scuola media potranno, probabilmente, descrivere meglio in termini matematici la situazione concreta: il würstel potrà diventare un cilindro, il coltello un piano, il foglio srotolato potrà diventare un altro piano, l’effetto del taglio sul foglio srotolato potrà essere considerato una curva piana. In base alla nostra esperienza, però, ci sentiamo di dire che tutto questo avverrà solo “a posteriori” e che anche per gli alunni della scuola secondaria di primo grado l’effetto sorpresa è garantito.

Studenti di scuola superiore ben abituati a “pensare geometricamente” potrebbero immaginare senza difficoltà la curva generata dalla sezione, ma sono davvero tanti i nostri alunni abituati al “pensiero geometrico”? Se così non fosse, questo problema può essere un primo tassello per aiutarli a riscoprirlo.

Materiale necessario

Non è necessario che gli alunni svolgano in prima persona l’attività descritta in questo problema (ed è comunque sconsigliabile che lo facciano da soli).

Sotto la supervisione di un adulto, però, potrebbe essere interessante che confermassero o falsificassero da soli le proprie ipotesi. In questo caso avranno bisogno di un würstel, un foglio di carta, un tagliere e un coltello.

Problema tratto da…

L’attività che qui abbiamo proposto sotto forma di problema è presentata, con alcune varianti, anche su alcune “fonti autorevoli” che ci piace qui citare.

La prima è Matematica per istantanee di Hugo Steinhaus (Zanichelli, 1994, traduzione italiana di Mathematical Snapshot, la cui prima edizione è del 1938): l’autore proponeva di avvolgere il foglio attorno ad una candela (invece che ad un würstel), ma il problema era sostanzialmente lo stesso.

La seconda è l’articolo Unwrapping Curves from Cylinders and Cones di Tom M. Apostol e Mamikon A. Mnatsakanian (The Mathematical Association of America, monthly 114, May 2007), in cui viene proposta una variante che sarebbe bello qualche alunno provasse a realizzare, magari riprendendosi in un video. Immergendo parzialmente un rullo in una vaschetta di pittura (in modo che l’asse del rullo non sia né perpendicolare né parallelo al piano della superficie della pittura) e facendo poi scorrere il rullo su una superficie piana, si può ugualmente ottenere il profilo di una sinusoide.